Онлайн-калькулятор призвания

Математическая энциклопедия » Что такое «Внешняя Алгебра»?

Значение слова, определение и толкование термина

Внешняя Алгебра

Vneshnyaya Algebra

алгебра Грассма-н а, векторного пространства Vнад полем k - ассоциативная алгебра над k, операция в к-рой обозначается знаком [Внешняя Алгебра. Фото 1], порождающими элементами к-рой являются [Внешняя Алгебра. Фото 2] где [Внешняя Алгебра. Фото 3] - базис пространства V, а определяющие соотношения имеют вид

[Внешняя Алгебра. Фото 4]

В. а. не зависит от выбора базиса и обозначается [Внешняя Алгебра. Фото 5] Подпространство [Внешняя Алгебра. Фото 6] в [Внешняя Алгебра. Фото 7], порожденное элементами вида [Внешняя Алгебра. Фото 8] наз. r-й внешней степенью пространства V. Имеют место равенства:[Внешняя Алгебра. Фото 9] Кроме того,[Внешняя Алгебра. Фото 10]

Элементы пространства [Внешняя Алгебра. Фото 11] наз. [Внешняя Алгебра. Фото 12] -векторами; их можно понимать также как кососимметрические г раз контраварнантные тензоры в V(см. Внешнее произведение).

r-векторы тесно связаны с r-мерными подпространствами в V: линейно независимые системы векторов [Внешняя Алгебра. Фото 13] н [Внешняя Алгебра. Фото 14] из V порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда r-векторы [Внешняя Алгебра. Фото 15] и [Внешняя Алгебра. Фото 16] пропорциональны. Этот факт был одним из отправных пунктов в исследованиях Г. Грассмана [1], к-рый ввел В. а. как алгебраич. аппарат для описания порождения многомерных подпространств одномерными. С помощью В. а. легко строится теория определителей. В. а. может быть определена и для более общих объектов, а именно, для унитарных модулей Мнад коммутативным кольцом А с единицей (см. [4]). r-я внешняя степень [Внешняя Алгебра. Фото 17] модуля Мопределяется как фактормодуль r-й тензорной степени этого модуля по подмодулю, порожденному элементами вида [Внешняя Алгебра. Фото 18] где [Внешняя Алгебра. Фото 19] и [Внешняя Алгебра. Фото 20] для нек-рых [Внешняя Алгебра. Фото 21] В. а. для Мопределяется как прямая сумма [Внешняя Алгебра. Фото 22][Внешняя Алгебра. Фото 23] где [Внешняя Алгебра. Фото 24] с естественно введенным умножением. В случае конечномерного векторного пространства это определение совпадает с первоначальным. В. а. модуля находит применение в теории модулей над кольцом главных идеалов (см. [5]).

Грассмaновыми (или плюккеровыми) координатами r-мерного подпространства Lв гс-мерном пространстве Vнад kназ. координаты r-вектора в V, соответствующего L, к-рый определен с точностью до пропорциональности. С помощью грасс-мановых координат множество всех r-мерных подпространств в Vестественным образом вкладывается в проективное пространство размерности [Внешняя Алгебра. Фото 25] и оказывается там алгебраич. многообразием (наз. Грассмана многообразием).

Этот метод позволяет построить целый ряд важных примеров проективных алгебраич. многообразий [6].

В форме исчисления внешних дифференциальных форм В. а. используется в качестве одного из основных формализмов в дифференциальной геометрии (см. [8], [7]). В терминах В. а. формулируются многие важные результаты алгебраич. топологии.

Например, если G - конечномерное H-пространство (например, группа Ли), то алгебра [Внешняя Алгебра. Фото 26] когомологий пространства Gс коэффициентами в поле kхарактеристики нуль является В. а. с образующими нечетных степеней. Если G - односвязная компактная группа Ли, то В. а. (над кольцом целых чисел) является также кольцо [Внешняя Алгебра. Фото 27], изучаемое в К-те-ории.

Лит.:[1] Grassmann H., Gesammelte mathematische imd physikalische Werke, Bd 1, Tl. 1-2, Lpz., 1894-96; [2] Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 2 изд., М., 1956; [3] Калужнин Л. А., Введение в общую алгебру, М., 1973; [4] Бур баки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [5] его же, Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1968; [6] Ходж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1-3, М., 1954; [7] Фиников С. <П., Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, М.-Л., 1948; К] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970. А. Л. Онищик.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ ПРЫЖОК - часть потока в русле со свободной поверхностью, в пределах к-рой происходит резкий подъём уровня воды при переходе

  • раздел геоботаники, теоретич. основа луговодства. Изучает типы лугов, закономерности распространения, видовой состав и динамику луговых т