Математическая энциклопедия » Что такое «S-Двойственность»?

Значение слова, определение и толкование термина

S-Двойственность

S-Dvoystvennost

стационарная двойственность, Спеньера двойственность, - двойственность в теории гомотопии, имеющая место (при отсутствии ограничений на размерность пространств) для аналогов обычных гомотопич. и когомотопич. групп в надстроечной категории - для S-гомотопич. и S-когомотопнч. групп или стационарных групп гомотошш и когомотопий, образующих экстраординарные (обобщенные) теории гомологии и когомологий. Надстроечной категорией, или S-к атегорией, наз. категория, объектами к-рой являются топологич. пространства X, а морфизмами - классы {f} S-гомотопных отображений f р -кратной надстройки SpX1 в SPX2, причем f и g:[S-Двойственность. Фото 1] считаются 5-гомотопными, если существует такое [S-Двойственность. Фото 2] что надстройки [S-Двойственность. Фото 3]гомотопны в обычном смысле.

Множество х, X2} таких классов, наз. S-oтображениями, составляет абелеву группу (относительно так яаз. колейного сложения, см. [1], [2], [4), [5]). Группа г, Х 2 )есть предел прямого спектра множеств [SkX1, SkX2]обычных гомотогшч. классов с надстроечными отображениями в качестве проекций, являющегося при достаточно больших кспектром групп с гомоморфизмами. Имеет место изоморфизм S:1, Х 2}[S-Двойственность. Фото 4]{SX1, SX2}, при к-ром соответствующие друг другу элементы представляются одним и тем же отображением [S-Двойственность. Фото 5] Полиэдром, п- двойственным к полиэдру Xсферы Sn, наз. произвольный полиэдр D п Х в Sn, являющийся S-це формационным ретрактом дополнения [S-Двойственность. Фото 6] т. е. если морфизм, соответствующий вложению [S-Двойственность. Фото 7] есть S-эквивалентность. Полиэдр DnX существует для каждого X, и можно рассматривать Xкак [S-Двойственность. Фото 8]

Для любых полиэдров Х 1, Х 2 и любых n-двойственных им полиэдров DnX1 и DnX2 существует единственное отображение

[S-Двойственность. Фото 9]

удовлетворяющее следующим условиям:

а) Оно является инволютивным контравариантным функториальным изоморфизмом, т. е. Dn есть такой гомоморфизм,[S-Двойственность. Фото 10]что если [S-Двойственность. Фото 11]то если [S-Двойственность. Фото 12]то [S-Двойственность. Фото 13] если 0 - элемент из {X1 , Х 2} или из {DnX2, DnX1}, то [S-Двойственность. Фото 14]

б) Оно удовлетворяет соотношениям [S-Двойственность. Фото 15] где SDnXi и DnXi рассматриваются как полиэдры, (n+1)-двойственные к полиэдрам X;и, соответственно, SXi, i=i,2; это значит, что оно не зависит от n и стационарно относительно надстройки.

в) Оно удовлетворяет равенству где [S-Двойственность. Фото 16] и [S-Двойственность. Фото 17] - гомоморфизмы [S-Двойственность. Фото 18]указанных групп гомологии и когомологий, индуцированные S-отображениями [S-Двойственность. Фото 19] и Dnq, a [S-Двойственность. Фото 20] есть изоморфизм, к-рый получается из изоморфизма Александера двойственности заменой множества [S-Двойственность. Фото 21] его S-деформационным ретрактом DnXi.

Построение Dn опирается на представление данного отображения как композиции вложения и S-деформационной ретракции.

S- гомотопической группой е р (Х)пространства Xназ. группа {Sp, X}, а S-к огомотопической группой S Р (Х)пространства X- группа {X, SP}. Как и в обычной теории гомотошш, определяются гомоморфизмы

[S-Двойственность. Фото 22]

Рассмотрение сфер Sp и Sn-p-1 как n-двойственных приводит к изоморфизму

[S-Двойственность. Фото 23]

и к коммутативной диаграмме

[S-Двойственность. Фото 24]

Таким образом, изоморфизм Dn связывает S-гомотопич. и S-когомотопич. группы подобно тому, как изоморфизм двойственности Александера Dan связывает группы гомологии и когомологии. Какая-либо двойственность в S-категории приводит к двойственности в случае обычных гомотопич. классов, если на пространство наложить требования, из к-рых следует наличие взаимно однозначного соответствия множества указанных классов с множеством S-гомотопических классов.

Примерами двойственных предложений в этой теории являются теорема Гуревича об изоморфизме и теорема классификации Хопфа. Dn переводит одну из этих теорем в другую, что означает замену S-гомотопич. групп S-когомотопическими, групп гомологии - группами когомологии, отображения jp- отображениями jn-p-1, наименьшей размерности с нетривиальной гомологич. группой - наивысшей размерностью с нетривиальной группой когомологии, и наоборот. В обычной теории гомотогши для определения n-когомотопич. группы требуется, чтобы размерность пространства не превышала 2n-2 (или, более общо, чтобы пространство было (2n-1)-косвязным, n>1), что нарушает полную общность двойственности.

Теория обобщается в различных направлениях: напр., рассматриваются пространства, имеющие S-гомотопический тип полиэдров, относительный случай, теория с носителями и др. (см. [3], [5], [6], [7]). Она послужила одним из источников стационарной гомотопической теории [8].

Лит.:[1] Спаньер Э. Г., "Математика", 1959, т. 3, № 1, с. 17-25; [2] Spanier E. H., Whitehead J. Н. С, "Mathematical 1955, v. 2, №3, p. 56-80; [3] их же, "Ann. Math.", 1958, v. 67, №2, p. 203 - 38; [4] Barratt M. G., "Proc. Lond. Math. Soc", 1955, v. 5, p. 71 - 106, 285 - 329; [5] Сп. <чньер Э. Г., Уайтхед Дж. Г., "Математика", 1959, т. 3, № 1, с. 27 - 56; [6] Экман Б., Хилтон П., там же, 1960, т. 4, № 3, с. 3-27; [7] Спаньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [8] Уайтхед Дж., Новейшие достижения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1974.

Г. С. Чогошвили.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • (тропилиден; ф-ла I), мол. м. 91,13; бесцв. жидкость, т. пл. -78,45

  • силы, возникающие в деформированных средах, телах; разность электрических потенциалов в каких-либо двух точках, сечениях электрической це

  • — зыбь, которая возникает при восточном ветре в Трабзонском заливе между мысами Хупси и Гюзельхисар (Черное море).