Онлайн-калькулятор призвания

Математическая энциклопедия » Что такое «Размерностный Инвариант»?

Значение слова, определение и толкование термина

Размерностный Инвариант

Razmernostny Invariant

целое число d(X), определяемое для каждого топологич. пространства Xданного класса [Размерностный Инвариант. Фото 1] и обладающее достаточным количеством свойств, сближающих его с обычным числом измерений евклидовых многомерных пространств. При этом от класса [Размерностный Инвариант. Фото 2] требуется, чтобы он содержал все кубы любого числа измерений и вместе с любым данным пространством X, являющимся его элементом, содержал в качестве элемента и всякое пространство, гомеоморфное пространству X. От Р. и. d(X).предполагается, во всяком случае, что для гомеоморфных пространств Xи X' всегда d(X)=d(X').и что для n-мернрго куба In выполняется d(In) = n. Среди Р. и. важнейшими являются т. н. классические размерности - Лебега размерностьdim X и (большая и малая) индуктивная размерностьInd X,ind X.

Имеют место следующие предложения, выделяющий размерность dim Xсреди всех Р. и., определенных соответственно в классе всех (метрических) компактов, всех метризуемых и всех сепарабельных метризуемых пространств и тем решающие для этих пространств проблему аксиоматич. определения размерности. Единственный, удовлетворяющий нижеперечисленным условиям 1), 2), 3), определенный в классе [Размерностный Инвариант. Фото 3] всех (метрических) компактов Xразмерностный инвариант d(X).есть размерность dim X=Ind X=ind X(теорема Александрова).

Условие 1) (аксиома Пуанкаре). Если пространство принадлежит к классу [Размерностный Инвариант. Фото 4] и d(X).равно неотрицательному целому числу п, то в Xсодержится замкнутое подпространство Х 0, для к-рого d(x0)<n и такое, что множество Х|Х0 несвязно.

Условие 2) (аксиома конечной суммы). Если принадлежащее к классу [Размерностный Инвариант. Фото 5] пространство Xесть объединение двух замкнутых подпространств Х 1 и Х 2, для к-рых [Размерностный Инвариант. Фото 6] , то и [Размерностный Инвариант. Фото 7]

Условие 3) (аксиома Брауэра в метрической форме). Если X - принадлежащее к классу [Размерностный Инвариант. Фото 8] пространство и d(X).есть неотрицательное целое число n, то существует такое положительное число e, что для всякого пространства Y, являющегося образом пространства Xпри каком-либо e-отображении, имеет место неравенство [Размерностный Инвариант. Фото 9] . При этом отображение f компакта Xна компакт Yназ. e-отображением, если оно непрерывно, и полный прообраз f-1 (у).каждой точки [Размерностный Инвариант. Фото 10] имеет в Xдиаметр [Размерностный Инвариант. Фото 11]

Теорема Щ е п и н а [2]. Размерность dim Xесть единственный, определенный соответственно в классе [Размерностный Инвариант. Фото 12] всех метрических, всех сепарабельных метрич. пространств Xразмерностный инвариант d(X), удовлетворяющий следующим условиям (теорема Щецина).

Условие 1) (аксиома Пуанкаре, см. выше).

Условие 2) (аксиома счетной суммы). Если принадлежащее к классу [Размерностный Инвариант. Фото 13] пространство Xесть объединение счетного числа своих замкнутых подпространств [Размерностный Инвариант. Фото 14] , для каждого из к-рых

[Размерностный Инвариант. Фото 15]

Условие 3) (аксиом а Б р а у э р а в общей форме). Если для принадлежащего к классу [Размерностный Инвариант. Фото 16] пространства Xимеется [Размерностный Инвариант. Фото 17] , то существует такое конечное открытое покрытие w пространства X, что для всякого, принадлежащего к классу [Размерностный Инвариант. Фото 18] пространства Y, являющегося образом пространства X при каком-либо w-отображении, будет [Размерностный Инвариант. Фото 19]. При этом отображение f пространства X, на к-ром зафиксировано нек-рое открытое покрытие w, на пространство Y наз. (w-отображением, если каждая точка yпространства Y имеет окрестность Оу, полный прообраз к-рой f-1 ( Оу).содержится в нек-ром элементе покрытия w.

Лит.:[1] А л е к с а н д р о в П. <С.,в кн.: Тр. Международного симпозия по топологии и ее применениях. Херцег-Нови. 1968, Beograd, 1969, с. 38-42;[2] Щ е п и н Е.,"Докл. АН СССР", 1972, т. 206, № 1, с. 31-32; [3] А л е к с а н д р о в II.С ., II а с ы н к о в Б. А., Введение в теорию размерности, М., 1973.

А. А. Мальцев.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • ФОКА ПРОСТРАНСТВО - в простейшем и чаще всего употребляемом случае - гильбертово пространство, состоящее из бесконечных последовательно

  • эффузивная или жильная щелочная горн. порода с порфировыми выделениями полевого шпата и цв. минералов (гл. обр. биотита). Характерна генетич

  • Негритос (представитель негритидной расы) Малайского полуострова, характеризующийся ростом менее полутора метров, круглой или средней го