Онлайн-калькулятор призвания

Математическая энциклопедия » Что такое «Равномерная Сходимость»?

Значение слова, определение и толкование термина

Равномерная Сходимость

Ravnomernaya Skhodimost

последовательности функций (отображений) - свойство последовательности [Равномерная Сходимость. Фото 1], где X- произвольное множество, Y - метрич. пространство, n=1,2,..., к функции (отображению) [Равномерная Сходимость. Фото 2], означающее, что для любого e>0 существует такой номер п e , что для всех номеров п>ne и всех точек [Равномерная Сходимость. Фото 3] выполняется неравенство

[Равномерная Сходимость. Фото 4]

Это условие равносильно тому, что

[Равномерная Сходимость. Фото 5]

Чтобы последовательность {fn} равномерно сходилась на множестве Xк функции f, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая числовая последовательность {an}, что [Равномерная Сходимость. Фото 6] и существовал такой номер n0, что для всех n>n0 и всех [Равномерная Сходимость. Фото 7] выполнялось неравенство

[Равномерная Сходимость. Фото 8]

Пример. Последовательность fn(x)=xn, п=1,2,..., равномерно сходится на любом отрезке [0, а], 0<а<1 и не сходится равномерно на отрезке [0, 1].

Необходимое и достаточное условие Р. с. последовательности функций без использования понятия предельной функции дает Ноши критерий равномерной сходимости.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей.

1. Если Y - линейное нормированное пространство и последовательности отображений [Равномерная Сходимость. Фото 9] и [Равномерная Сходимость. Фото 10], n=1, 2,. . ., равномерно сходятся на множестве X, то при любых [Равномерная Сходимость. Фото 11] и [Равномерная Сходимость. Фото 12] последовательность {lfn+mgn} также равномерно сходится на X.

2. Если Y - линейное нормированное кольцо, последовательность отображений [Равномерная Сходимость. Фото 13], 2,. . ., равномерно сходится на множестве Xи g: X[Равномерная Сходимость. Фото 14]Y - ограниченное отображение, то последовательность {gfn} также равномерно сходится на X.

3. Если X - топологич. пространство, Y - метрич. пространство и последовательность непрерывных в точке [Равномерная Сходимость. Фото 15] отображений [Равномерная Сходимость. Фото 16] равномерно на множестве Xсходится к отображению [Равномерная Сходимость. Фото 17], то это отображение также непрерывно в точке x0, то есть

[Равномерная Сходимость. Фото 18]

Условие равномерной сходимости последовательности {fn} на Xявляется в этом утверждении существенным в том смысле, что существуют даже последовательности числовых непрерывных на отрезке функций, сходящиеся во всех его точках к функции, не являющейся непрерывной на рассматриваемом отрезке. Примером такой последовательности является fn(x)=xn, n=1,2,. . ., на отрезке [0, 1]. Р. с. последовательности непрерывных функций не есть необходимое условие непрерывности предельной функции. Однако если множество X- компакт, Y- множество действительных чисел [Равномерная Сходимость. Фото 19], последовательность непрерывных функций [Равномерная Сходимость. Фото 20] во всех точках [Равномерная Сходимость. Фото 21] одновременно возрастает или убывает и имеет конечный предел,

[Равномерная Сходимость. Фото 22]

то для того, чтобы функция f была непрерывной на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {fn} сходилась равномерно на этом множестве. Необходимые и одновременно достаточные условия для непрерывности предела последовательности непрерывных функций в общем случае даются в терминах квазиравномерной сходимости последовательности.

4. Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций [Равномерная Сходимость. Фото 23] , n=1,2,. . ., равномерно на отрезке [ а, b], сходится к функции [Равномерная Сходимость. Фото 24], то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого [Равномерная Сходимость. Фото 25] имеет место равенство

[Равномерная Сходимость. Фото 26] (*)

и сходимость последовательности [Равномерная Сходимость. Фото 27] на отрезке [ а, b]к функции [Равномерная Сходимость. Фото 28]равномерна. Формула (*) обобщается на случай Стилтьеса интеграла. Если же последовательность интегрируемых на отрезке [ а, b]функций fn, п=1, 2, . . ., просто сходится в каждой точке этого отрезка к интегрируемой же на нем функции f, то формула (*) может не иметь места.

5. Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [ а, b]функций [Равномерная Сходимость. Фото 29], п=1, 2,. . ., сходится в нек-рой точке [Равномерная Сходимость. Фото 30], а последовательность их производных [Равномерная Сходимость. Фото 31] равномерно сходится на [ а, b], то последовательность {fn} также равномерно сходится на отрезке [ а, b], ее предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией и

[Равномерная Сходимость. Фото 32]

Пусть X - произвольное множество, а Y - метрич. пространство. Семейство функций (отображений) fa[Равномерная Сходимость. Фото 33]Y,[Равномерная Сходимость. Фото 34], где [Равномерная Сходимость. Фото 35] - топологич. пространство, наз. равномерно сходящимся при [Равномерная Сходимость. Фото 36] к функции (отображению) [Равномерная Сходимость. Фото 37], если для любого e>0 существует такая окрестность U(a0) точки a0, что для всех [Равномерная Сходимость. Фото 38] и всех [Равномерная Сходимость. Фото 39] выполняется неравенство

[Равномерная Сходимость. Фото 40]

Для равномерно сходящихся семейств функций имеют место свойства, аналогичные указанным выше свойствам Р. с. последовательностей функций.

Понятие Р. с. отображений обобщается на случай, когда Y - равномерное пространство, в частности, когда Y - топологич. группа.

Лит.:[1] Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Колмогорова. Н., ФоминС. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981.

Л. Д. Кудрявцев.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • конечной группы G - такое представление группы Gв конечномерном векторном пространстве V, что в нек-ром базисе этого пространства матрица о

  • накрытие, к-ро-му подчинены или к-рыми накрываются все остальные накрытия. М. И. Войцеховский.