Онлайн-калькулятор призвания

Математическая энциклопедия » Что такое «Радемахера Система»?

Значение слова, определение и толкование термина

Радемахера Система

Rademakhera Sistema

- ортонормированная на отрезке [0,1] система [Радемахера Система. Фото 1] . Введена X. Радемахером [1]. Функции [Радемахера Система. Фото 2]можно определить равенствами

[Радемахера Система. Фото 3] , [Радемахера Система. Фото 4] ...

Другое определение функций Радемахера [Радемахера Система. Фото 5] получается путем рассмотрения двоичных разложений чисел отрезка [0,1]: если в двоичном разложении числа хна k-м месте стоит цифра 0, то полагают [Радемахера Система. Фото 6], если же на k-м месте стоит 1, то [Радемахера Система. Фото 7]; в случае же, когда x=0 или число хдопускает два разложения, полагают [Радемахера Система. Фото 8]. Согласно этому определению отрезок [0,1] распадается на [Радемахера Система. Фото 9]равных подинтервала, в каждом из которых функция [Радемахера Система. Фото 10] принимает попеременно значения +1 и -1, а на концах подинтервалов [Радемахера Система. Фото 11]

Система [Радемахера Система. Фото 12] представляет типичный пример стохастически независимых функций и имеет применения как в теории вероятностей, так и в теории ортогональных рядов.

Одно из важных свойств Р. с. устанавливается теоремой Радемахера: если [Радемахера Система. Фото 13] , то ряд [Радемахера Система. Фото 14] сходится почти всюду на [0,1], и теоремой Хинчина-Колмогорова: если [Радемахера Система. Фото 15], то ряд [Радемахера Система. Фото 16] расходится почти всюду на [0,1].

Так как функции Радемахера в двоично иррациональных точках интервала [0,1] принимают лишь значения ±1, то рассмотрение ряда [Радемахера Система. Фото 17] означает, что у членов ряда [Радемахера Система. Фото 18] выбирается распределение знаков ±1, зависящее от точки х. Если x=0, a1 a2. . . an . . .- представление числа [Радемахера Система. Фото 19] в виде бесконечной двоичной дроби, то при an=0 перед с п ставится знак + и при an=1 ставится знак - .

Вышеприведенные теоремы в терминах теории вероятностей означают, что если [Радемахера Система. Фото 20] , то ряд [Радемахера Система. Фото 21] сходится для почти всех распределений знаков (сходится с вероятностью 1), и если [Радемахера Система. Фото 22], то ряд [Радемахера Система. Фото 23] расходится для почти всех распределений знаков (расходится с вероятностью 1).

Наоборот, ряд теорем теории вероятностей можно сформулировать в терминах функций Радемахера. Напр., теорема Кантелли о том, что при игре "в герб и решетку" со ставкой 1 средний выигрыш с вероятностью 1 стремится к нулю, означает, что почти всюду на [0,1] выполняется равенство

[Радемахера Система. Фото 24]

Лит.:[l] Rademacher H., "Math. Ann.", 1922, Bd 87, S. 112-38;[2] К а ч м а ж С., Ill т е и н г а у з Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [3] АлексичГ., Проблемы сходимости ортогональных рядов, пер. с англ., М., 1963; [4] К а ц М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.

А. А. Талалян.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • ФАЗОВЫЙ КОНТРАСТ        метод получения изображений микроскопич. объектов, основанный на регистрации различий в сдвигах фазы разных учас

  • тяж нерв. волокон, соединяющий левое и правое большие полушария головного мозга. Осуществляет обмен нерв. импульсами между ними, обеспечив

  • алифатическая аминокислота CH2(OH)CH(NH2)COOH. Входит в состав белков и нек-рых сложных липидов. Играет важную роль в проявлении каталитич. активно