Математическая энциклопедия » Что такое «p-Адическое Число»?

Значение слова, определение и толкование термина

p-Адическое Число

p-Adicheskoye Chislo

- элемент расширения поля рациональных чисел, получаемого на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р.

Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования (см. Абсолютное значение).

Целым р-адическим числом для произвольного простого рназ. последовательность [p-Адическое Число. Фото 1][p-Адическое Число. Фото 2] вычетов [p-Адическое Число. Фото 3] удовлетворяющих условию

[p-Адическое Число. Фото 4]

Сложение и умножение целых р-А. ч. определяется формулами

[p-Адическое Число. Фото 5]

Каждое целое число тотождествляется с р-А. ч. х= (m, т, ...). Относительно сложения и умножения целые р-А. ч. образуют кольцо, к-рое содержит кольцо целых чисел. Кольцо целых р-А. ч. может быть также определено как проективный предел

[p-Адическое Число. Фото 6]

колец вычетов по mod р n (относительно естественных проекций).

р-адическим числом, или рациональным р-адическим числом, наз. элемент поля отношений [p-Адическое Число. Фото 7] кольца [p-Адическое Число. Фото 8] целых р-А. ч. Это поле наз. полем р-адических чисел и содержит поле рациональных чисел в качестве подполя. Как кольцо, так и поле р-А. ч. наделяются естественной топологией. Эта топология может быть определена метрикой, связанной с р-адической нормой, т. е. с функцией [p-Адическое Число. Фото 9] от р-А. ч. х, определяемой следующим образом. Если [p-Адическое Число. Фото 10] то ходнозначно представимо в виде [p-Адическое Число. Фото 11] где а - обратимый элемент кольца целых р-А. ч. Тогда р-адическая норма [p-Адическое Число. Фото 12] равна [p-Адическое Число. Фото 13] Если x=0, то [p-Адическое Число. Фото 14] Определяя [p-Адическое Число. Фото 15] сначала только на рациональных числах, можно получить поле р-А. ч. как пополнение поля рациональных чисел.

Каждый элемент поля р-А. ч. может быть представлен в виде

[p-Адическое Число. Фото 16]

где [p-Адическое Число. Фото 17] - целые, [p-Адическое Число. Фото 18] - нек-рое целое число, [p-Адическое Число. Фото 19] и ряд (*) сходится в метрике поля Qp. Числа [p-Адическое Число. Фото 20] с условием [p-Адическое Число. Фото 21] (т. е. с [p-Адическое Число. Фото 22]) образуют кольцо Zp целых р-А. ч., являющееся пополнением кольца целых чисел поля Q. Числа [p-Адическое Число. Фото 23] с условием [p-Адическое Число. Фото 24] образуют мультипликативную группу и наз. р - адическими единицами. Совокупность чисел [p-Адическое Число. Фото 25] с условием [p-Адическое Число. Фото 26] является главным идеалом в Zp с образующим элементом р. Кольцо [p-Адическое Число. Фото 27] является полным кольцом дискретного нормирования. Поле [p-Адическое Число. Фото 28] локально компактно в топологии, индуцируемой метрикой [p-Адическое Число. Фото 29] Поэтому в нем существует инвариантная мера m, подчиняемая обычно условию [p-Адическое Число. Фото 30] Для различных рнормирования [p-Адическое Число. Фото 31] независимы, а поля [p-Адическое Число. Фото 32] неизоморфны. Многие факты и понятия классического анализа переносятся на случай р-адических полей.

р-А. ч. связаны с решением диофантовых уравнений по модулю возрастающей степени простого числа. Так, если [p-Адическое Число. Фото 33] - многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех [p-Адическое Число. Фото 34] сравнения

[p-Адическое Число. Фото 35]

эквивалентна разрешимости уравнения [p-Адическое Число. Фото 36][p-Адическое Число. Фото 37] в целых р-А. ч. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях р-А. ч. при всех р. Такой подход к решению

диофантовых уравнений и, в частности, выяснение вопроса о достаточности этих условий, наз. локальными условиями, составляет важную часть современной теории чисел (см. Диофантова геометрия). Упомянутое выше свойство разрешимости в одном частном случае может быть заменено более простым. Именно, если

[p-Адическое Число. Фото 38]

имеет решение [p-Адическое Число. Фото 39] и это решение определяет неособую точку гиперповерхности [p-Адическое Число. Фото 40] где [p-Адическое Число. Фото 41] - многочлен [p-Адическое Число. Фото 42] взятый по [p-Адическое Число. Фото 43] то данное уравнение имеет решение в целых р-А. ч., сравнимое [p-Адическое Число. Фото 44][p-Адическое Число. Фото 45] Это утверждение, известное под назв. Гензеля леммы, является частным случаем более общего факта, относящегося к теории схем.

Кольцо целых р-А. ч. может рассматриваться как часть более общей конструкции колец Витта W(A). Кольцо целых р-А. ч. получается в том случае, когда [p-Адическое Число. Фото 46] - конечное поле из рэлементов (см. Витта век-mop). Другим обобщением р-А. ч. являются [p-Адическое Число. Фото 47] -адические числа, возникающие при пополнении полей алгебраич. чисел относительно неархимедовых нормировании, связанных с простыми дивизорами.

р-А. ч. были введены К. Гензелем (см. [1]). Существующее для них канонич. представление является аналогом разложения аналитич. функций в степенной ряд. Это есть одно из проявлений аналогии между алгебраич. числами и алгебраич. функциями.

Лит.:[1] Неnsе1. К., "Jahresber. Dtsch. Math. Ver.", 1899, Bd 6, H. 1, S. 83-8; [2] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [3] Ленг С., Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966; [4] Вейль Г., Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1947; [5] Нassе Н., Zahlentheorie, 2 Aufl., В., 1963; [6] Вейль А., Основы теории чисел, пер. с англ., М., 1972; [7] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971.

Л. Н. Паршин, В. Г. Спринджук.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • врождённое хронич. кожное заболевание: пигментация, шелушение, трещины, изъязвления, бородавчатые разрастания, очаги атрофии, чаще на откр

  • растений, пересадка отрезка побега (черенка) или почки (глазка) одного р-ния (привоя) на другое (подвой). Способы П.: окулировка, копулировка, а