Математическая энциклопедия » Что такое «Автономная Система»?

Значение слова, определение и толкование термина

Автономная Система

Avtonomnaya Sistema

обыкновенных дифференциальных уравнений - система обыкновенных дифференциальных уравнений, в к-рую не входит явно независимое переменное t(время). Общий вид А. с. 1-го порядка в нормальной форме:

[Автономная Система. Фото 1]

или, в векторной записи,

[Автономная Система. Фото 2]

Неавтономная система [Автономная Система. Фото 3] сводится к А. с., если ввести новую неизвестную функцию [Автономная Система. Фото 4] Исторически А. с. возникли при описании физич. процессов с конечным числом степеней свободы. А. с. наз. также динамическими, или консервативным и (см. Динамическая система).

Комплексная А. с. вида (1) эквивалентна вещественной А. с. с 2n неизвестными функциями

[Автономная Система. Фото 5]

Содержательная теория комплексных А. с., отличная от вещественного случая, имеет место в случае аналитических [Автономная Система. Фото 6] (см. Аналитическая теория дифференциальных уравнений).

Будем рассматривать А. с. с действительными коэффициентами и их действительные решения. Пусть [Автономная Система. Фото 7] - (произвольное) решение А. с. (1), [Автономная Система. Фото 8]- интервал его определения,[Автономная Система. Фото 9]- решение с начальными данными [Автономная Система. Фото 10] Пусть [Автономная Система. Фото 11]- область в [Автономная Система. Фото 12] и [Автономная Система. Фото 13] Точка [Автономная Система. Фото 14] наз. положением равновесия (точкой покоя) А. с. (1), если [Автономная Система. Фото 15] Положению [Автономная Система. Фото 16] равновесия отвечает решение [Автономная Система. Фото 17]

Локальные свойства решений.

1) Если [Автономная Система. Фото 18] - решение, то [Автономная Система. Фото 19] - решение при любом [Автономная Система. Фото 20]

2) Существование: при любых [Автономная Система. Фото 21] решение [Автономная Система. Фото 22] существует на нек-ром интервале [Автономная Система. Фото 23]

3) Гладкость: если [Автономная Система. Фото 24] то [Автономная Система. Фото 25][Автономная Система. Фото 26]

4) Зависимость от параметров: пусть [Автономная Система. Фото 27] если [Автономная Система. Фото 28] (подробнее см. [1] - [4]).

5) Пусть [Автономная Система. Фото 29] не является положением равновесия, тогда существуют окрестности F, Wточек [Автономная Система. Фото 30] соответственно, и диффеоморфизм[Автономная Система. Фото 31] такие, что А. с. имеет вид [Автономная Система. Фото 32] в W.

Замена переменных [Автономная Система. Фото 33] в А. с. (1) приводит к системе

[Автономная Система. Фото 34]

([Автономная Система. Фото 35] - Якоби матрица).

Глобальные свойства решений.

1) Любое решение [Автономная Система. Фото 36] А. с. (1) можно продолжить на интервал [Автономная Система. Фото 37]. Если [Автономная Система. Фото 38], то решение наз. неограниченно продолжаемым; если [Автономная Система. Фото 39] то решение наз. неограниченно продолжаемым "в перед повремени" (аналогично - "назад"). Если [Автономная Система. Фото 40] то для любого компакта [Автономная Система. Фото 41] существует [Автономная Система. Фото 42]=[Автономная Система. Фото 43] такое, что точка [Автономная Система. Фото 44] находится вне [Автономная Система. Фото 45] при [Автономная Система. Фото 46] (аналогично при [Автономная Система. Фото 47]; см. Продолжаемость решений дифференциальных уравнений).

2) Продолжение единственно в том смысле, что любые два решения с общими начальными данными совпадают на общей области их определения.

3) Всякое решение А. с. принадлежит к одному из трех типов: а) непериодическое, причем [Автономная Система. Фото 48] для любых [Автономная Система. Фото 49] ) периодическое, непостоянное; с) [Автономная Система. Фото 50].

Геометрическая интерпретация А. с. Каждому решению [Автономная Система. Фото 51] ставится в соответствие кривая Г: [Автономная Система. Фото 52] лежащая в области G. Тогда Gназ. фазовым пространством А. с., Г - фазовой траекторией, решение интерпретируется как движение по фазовой траектории. Фазовым потоком наз. отображение [Автономная Система. Фото 53]: [Автономная Система. Фото 54] по формуле [Автономная Система. Фото 55][Автономная Система. Фото 56] (т. е. каждая точка сдвигается за время tвдоль фазовой траектории). На своей области определения фазовый поток удовлетворяет условиям: 1)[Автономная Система. Фото 57] непрерывно по [Автономная Система. Фото 58] 2) справедливо групповое свойство:[Автономная Система. Фото 59]

Имеет место теорема Лиувилля: пусть [Автономная Система. Фото 60] - область с конечным объемом, [Автономная Система. Фото 61] - объем области [Автономная Система. Фото 62] тогда

[Автономная Система. Фото 63]

Для гамильтоновой системы из (3) следует сохранение фазового объема фазовым потоком. Другой вариант равенства (3): пусть [Автономная Система. Фото 64] - семейство решений А. с. (1), [Автономная Система. Фото 65]- область,[Автономная Система. Фото 66] тогд

а [Автономная Система. Фото 67]

где [Автономная Система. Фото 68]

Структура фазовых траекторий.

1) Любые две фазовые траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают.

2) Всякая фазовая траектория принадлежит к одному из типов: а) гладкая простая незамкнутая жорданова дуга, b) цикл, т. е. кривая, диффеоморфная окружности, с) точка (положение равновесия). Локальная структура фазовых траекторий в малой окрестности точки, отличной от положения равновесия, тривиальна (см. локальное свойство 5) решений): семейство фазовых траекторий диффеоморфно семейству параллельных прямых. Для линейной А. с. структура фазовых траекторий в окрестности положения равновесия известна, так как А. с. интегрируема (см. [5]). Для нелинейных А. с. этот вопрос принадлежит к числу не решенных до конца проблем даже при n=2 (см. Качественная теория дифференциальных уравнений). Одним из аспектов этой проблемы является вопрос об устойчивости положения равновесия (см. Устойчивости теория). Ниже приведены нек-рые результаты. Пусть [Автономная Система. Фото 69] - положения равновесия систем (1) и

[Автономная Система. Фото 70]

[Автономная Система. Фото 71] - окрестности точек [Автономная Система. Фото 72] Системы (1) и (1') наз. эквивалентными в окрестности положения равновесия [Автономная Система. Фото 73] если существуют [Автономная Система. Фото 74] и взаимно однозначное отображение h: U->V такие, что [Автономная Система. Фото 75] (если [Автономная Система. Фото 76] т. е. при замене [Автономная Система. Фото 77] траектории А. с. (1) переходят в траектории А. с. [Автономная Система. Фото 78] Эквивалентность наз. дифференцируемой (топологической), если hесть диффеоморфизм (гомеоморфизм). Пусть [Автономная Система. Фото 79] - положение равновесия А. с. (1), матрица [Автономная Система. Фото 80] невырождена и не имеет чисто мнимых собственных значений. Тогда А. с. (1) в окрестности [Автономная Система. Фото 81] топологически эквивалентна своей линейной части [Автономная Система. Фото 82]. Полярный пример: А. с. [Автономная Система. Фото 83] где [Автономная Система. Фото 84]- постоянные матрицы с чисто мнимыми собственными значениями и [Автономная Система. Фото 85] неизвестно, когда эти А. с. топологически эквивалентны. Одной из самых фундаментальных задач теории А. с. является задача о структуре всего семейства фазовых траекторий. Наиболее полные результаты получены при [Автономная Система. Фото 86] но даже в этом случае задача далека от своего разрешения.

Лит.:[1] Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970; [2] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2 изд., М., 1965; [3] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [4] Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., 1971; [5] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1949.

М. В. Федорюк.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • (метод квазистационарных концентраций) в хим. кинетике, прием, упрощающий определение скорости сложной хим. р-ции. При стационарной хим. р-ц

  • раздел астрофизики, изучающий распространённость хим. элементов во Вселенной и ядерные процессы в звёздах и др. космич. объектах.