Математическая энциклопедия » Что такое «Автоморфная Функция»?

Значение слова, определение и толкование термина

Автоморфная Функция

Avtomorfnaya Funktsiya

мероморфная функция нескольких комплексных переменных, инвариантная относительно некоторой дискретной группы Г аналитич. реобразований данного комплексного многообразия М:

[Автоморфная Функция. Фото 1]

Часто под А. ф. понимают лишь функции, определенные в ограниченной связной области D n -мерного комплексного пространства [Автоморфная Функция. Фото 2], инвариантные относительно дискретной группы Г автоморфизмов этой области.

Факторпространство [Автоморфная Функция. Фото 3] может быть наделено комплексной структурой и А. ф. суть мероморфные функции на X. Подавляющее большинство изученных случаев относится к ситуации, когда пространство Xимеет компактификацию [Автоморфная Функция. Фото 4] В определение А. ф. естественно включается тогда требование ее продолжимости на все пространство Xв виде мероморфной функции. Если [Автоморфная Функция. Фото 5] (т. е. ограниченная связная область), то это условие необходимо требовать лишь при [Автоморфная Функция. Фото 6] (если [Автоморфная Функция. Фото 7] или [Автоморфная Функция. Фото 8] компактно, условие выполняется автоматически). Легко проверяется, что А. ф. образуют поле К(Г), изучение к-рого составляет одну из основных задач теории А. ф.

Наиболее подробно исследованы А. ф. одного переменного. Основы их теории заложены в 19 в. Ф. Клейном (F. Klein [1]) и А. Пуанкаре (Н. Poincare [2]). В качестве многообразия Мздесь обычно рассматривают односвязную область. Различаются три случая: М=[Автоморфная Функция. Фото 9] (комплексная проективная прямая, или сфера Римана), [Автоморфная Функция. Фото 10] (верхняя полуплоскость [Автоморфная Функция. Фото 11] В первом случае дискретные группы [Автоморфная Функция. Фото 12] конечны, кривые [Автоморфная Функция. Фото 13] суть алгебраич. кривые рода o (см. Род кривой).и, следовательно, А. ф. образуют поле рациональных функций. Примерами А. ф. в случае M= С служат периодич. функции (так, функция [Автоморфная Функция. Фото 14] инвариантна относительно группы сдвигов [Автоморфная Функция. Фото 15][Автоморфная Функция. Фото 16] и, в частности, эллиптич. функции. Для последних кривая [Автоморфная Функция. Фото 17] компактна и является эллиптич. кривой. Поле [Автоморфная Функция. Фото 18] в этом случае будет полем всех алгебраич. функций на [Автоморфная Функция. Фото 19] Наконец, для [Автоморфная Функция. Фото 20] и дискретных групп Г таких, что [Автоморфная Функция. Фото 21] компактно или имеет конечный объем (в метрике Пуанкаре), [Автоморфная Функция. Фото 22] - алгебраич. кривая, а [Автоморфная Функция. Фото 23] - также поле всех алгебраич. функций на [Автоморфная Функция. Фото 24] Род gэтой кривой можно определить, построив для группы Г фундаментальную область в виде многоугольника на верхней полуплоскости Н(рассматриваемой как плоскость Лобачевского). Основной способ построения А. ф. в этой ситуации состоит в рассмотрении отношения двух автоморфных форм одинакового достаточно большого веса. Этот способ принадлежит А. Пуанкаре, к-рый доказал с его помощью приведенные выше результаты о строении полей А. ф. (см. [2], [3], [4]). Аналогом этой конструкции для эллиптич. функций является представление их в виде отношения тета-функций. С помощью теории униформизации можно показать, что таким образом получаются все поля алгебраич. функций от одной переменной [3].

Эти результаты, полученные еще в 19 в., дают полное описание полей А. ф. для n=1 и таких групп Г, что пространство [Автоморфная Функция. Фото 25] имеет конечный объем. Случай групп Г с бесконечным объемом пространства [Автоморфная Функция. Фото 26] (клейновы группы) гораздо сложнее и интенсивно изучается вплоть до настоящего времени (см. [5], [6]).

В 20 в. основное внимание в теории А. ф. уделяется функциям нескольких переменных. Пожалуй, единственным примером А. ф. от я переменных, детально изученным в 19 в., являются абелевы функции, связанные с абелевыми многообразиями подобно тому, как связаны эллиптич. функции с эллиптич. кривыми [1], [7]. Первым примером А. ф. ппеременных в ограниченной области Dявились модулярные функции Зигеля [7] (см. Модулярная группа). Их область определения представляет собой n-мерное обобщение верхней полуплоскости Ни является одним из основных примеров ограниченной симметрич. области. К. Зигелю (С. Siegel) принадлежат также первые общие результаты о произвольных А. ф. в ограниченной области D. Обобщая упомянутую выше конструкцию Пуанкаре построения А. ф., он показал, что в поле К(Г).всегда существует по крайней мере палгебраически независимых функций.

В дальнейшем основные усилия были направлены на выяснение, для каких областей Dи групп Г выполняется следующее утверждение, получившее название теоремы об алгебраических соотношениях. Если [Автоморфная Функция. Фото 27] - алгебраически независимые функции, то поле К(Г) есть конечное алгебраич. расширение поля рациональных функций [Автоморфная Функция. Фото 28] [Автоморфная Функция. Фото 29]

Теорема эта доказана к настоящему времени (1977) в следующих случаях: 1) если факторпространство D/ Гкомпактно [7]; 2) если группа Г псевдовогнута [8]; 3) если D- симметрическая область, а Г - арифметическая группа. Псевдовогнутая группа определяется следующим образом. Пусть X - подобласть области D, содержащаяся в ней вместе с замыканием. Тогда точка границы [Автоморфная Функция. Фото 30] наз. псевдовогнутой, если для любой открытой окрестности [Автоморфная Функция. Фото 31] точки [Автоморфная Функция. Фото 32] и для любой регулярной в Uфункции [Автоморфная Функция. Фото 33] существует точка [Автоморфная Функция. Фото 34] такая, что [Автоморфная Функция. Фото 35] Группа Г наз. псевдовогнутой, если существует подобласть [Автоморфная Функция. Фото 36] такая, что каждая граничная точка [Автоморфная Функция. Фото 37] переводится преобразованием из Г либо во внутреннюю точку, принадлежащую X, либо в псевдовогнутую точку границы [Автоморфная Функция. Фото 38]

Вопрос о природе и свойствах алгебраич. многообразий, возникающих в теории А. ф. ппеременных, в отличие от случая одной переменной, исследован мало.

Важные обобщения понятия А. ф. - автоморфные формы, тета-функции и нек-рые др. Все они - частные случаи следующей общей конструкции. Рассматривается расслоение L на Ми действие на нем группы Г. Тогда можно определить сечения расслоения L, инвариантные относительно Г. А. ф. получаются, когда расслоение Lи действие группы Г тривиальны.

При изучении А. ф. выявилась важная роль группы автоморфизмов области D. Именно на этом пути понятия и методы теории А. ф. были перенесены в теорию алгебраических групп, где они играют существенную роль при описании бесконечномерных представлений (см. [10]).

С самого начала своего развития теория А. ф. была богата связями с другими разделами математики. Прежде всего сюда относится алгебраич. геометрия. Помимо упомянутых выше результатов, методы А. ф. важны для исследования многообразий модулей таких объектов, как алгебраич. кривые и абелевы многообразия. Существенное значение имеют А. ф. и для теории чисел. В настоящее время они служат единственным инструментом для изучения дзета-функций алгебраич. многообразий (см. [11]). Другое весьма многообещающее теоретико-числовое направление в теории А. ф. - исследование р-адических А. ф. и автоморфных форм (см. [9]). Наконец, следует упомянуть о применении А. ф. при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области [12], или о построении решений алгебраич. уравнений выше 4-й степени посредством автоморфных функций.

[Автоморфная Функция. Фото 39]

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • , см. Алкидные смолы.

  • (от греч. éndon внутри и греч. kríno отделяю, выделяю) - наука о строении и функции желез внутренней секреции (эндокринных желез), вырабатываемых