Онлайн-калькулятор призвания

Математическая энциклопедия » Что такое «Автоматического Управления Теория»?

Значение слова, определение и толкование термина

Автоматического Управления Теория

Avtomaticheskogo Upravleniya Teoriya

наука о методах определения законов управления к.-л. объектами, допускающих реализацию с помощью тех-нич. средств автоматики. Исторически сложилось так, что методы А. у. т. получили свое первое развитие применительно к процессам, встречающимся главным образом в технике (см. [1]). Напр., летящий самолет представляет собой объект, законы управления к-рым гарантируют его полет по требуемой траектории. Они реализуются с помощью совокупности измерительных приборов, преобразующих и исполнительных устройств, называемой автопилотом. Три причины лежат в основе этого развития: многие объекты управления были идентифицированы классиками науки (идентифицировать объект управления - значит написать его математич. модель, т. е. соотношения (1), (2), см. ниже); еще задолго до развития А. у. т., благодаря установлению ряда фундаментальных законов природы, существовал хорошо развитый математич. аппарат дифференциальных уравнений и особенно аппарат теории устойчивости движения (см. [2]); инженеры открыли закон обратной связи (см. ниже) и нашли средства его реализации.

Простейшие объекты управления описываются (векторным) обыкновенным дифференциальным уравнением

[Автоматического Управления Теория. Фото 1]

и неравенством

[Автоматического Управления Теория. Фото 2]

где [Автоматического Управления Теория. Фото 3] - вектор состояния объекта,[Автоматического Управления Теория. Фото 4][Автоматического Управления Теория. Фото 5] - вектор управления, к-рый можно выбирать, [Автоматического Управления Теория. Фото 6] - время. Уравнение (1) есть математич. запись законов, к-рым подчинен объект управления; неравенство (2) - область его определения.

Пусть [Автоматического Управления Теория. Фото 7] есть к.-л. данный класс функций [Автоматического Управления Теория. Фото 8] (напр., кусочно непрерывных), принимающих численное значение из (2). Любую функцию [Автоматического Управления Теория. Фото 9] назовем допустимым управлением. Уравнение (1) наз. математической моделью объекта управления, если:

1) указана область [Автоматического Управления Теория. Фото 10] определения функции [Автоматического Управления Теория. Фото 11]

2) указан интервал времени [Автоматического Управления Теория. Фото 12] (или [Автоматического Управления Теория. Фото 13] если [Автоматического Управления Теория. Фото 14]), на к-ром наблюдается движение x(t).

3) указан класс допустимых управлений;

4) область [Автоматического Управления Теория. Фото 15] и функция [Автоматического Управления Теория. Фото 16] таковы, что уравнение (1) имеет единственное решение, определенное при любом [Автоматического Управления Теория. Фото 17] каково бы ни было допустимое управление u(t). Далее всюду в (1) [Автоматического Управления Теория. Фото 18] предполагается гладкой по всем аргументам.

Пусть [Автоматического Управления Теория. Фото 19] - начальное, а [Автоматического Управления Теория. Фото 20] - конечное состояния объекта управления. Состояние [Автоматического Управления Теория. Фото 21] наз. целью управления. Существуют две главные задачи А. у. т.: задача программирования - определение управления [Автоматического Управления Теория. Фото 22] при к-ром гарантируется достижение цели из [Автоматического Управления Теория. Фото 23] определение закона обратной связи (см. ниже). Обе задачи разрешаются при условии полной управляемости объекта (1).

Объект (1) наз. полностью управляемым, если, каковы бы ни были [Автоматического Управления Теория. Фото 24] найдутся хотя бы одно допустимое управление [Автоматического Управления Теория. Фото 25] и интервал [Автоматического Управления Теория. Фото 26] при к-рых цель управления достижима. В противном случае говорят, что объект управляем неполностью. Поэтому возникает задача предварительного исследования: дана математич. модель (1), требуется установить критерий управляемости. В разрешении этой задачи достигнут (к 1977) незначительный прогресс. В случае, когда уравнение (1) линейно:

[Автоматического Управления Теория. Фото 27]

где А, В - стационарные матрицы, критерий полной управляемости формулируется так: для того чтобы система (3) была полностью управляема, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы

[Автоматического Управления Теория. Фото 28]

был равен п. Матрица (4) наз. матрицей управляемости.

Если А, В - известные дифференцируемые функции от t, то матрица управляемости определяется так:

[Автоматического Управления Теория. Фото 29]

где

[Автоматического Управления Теория. Фото 30]

В этом случае имеет место теорема: для того чтобы система (3) была полностью управляема, достаточно, чтобы существовала хотя бы одна точка [Автоматического Управления Теория. Фото 31] в к-рой ранг матрицы (5) равен п(см. [3]). Для нелинейных систем критерий управляемости пока (к 1977) не найден.

Первая главная задача А. у. т. заключается в выборе допустимого управления, при к-ром гарантируется достижение цели [Автоматического Управления Теория. Фото 32] Она имеет два способа решения. Первый из них состоит в проявлении воли главного конструктора (ГК) объекта (1) - назначение определенного вида движения, при к-ром цель xf достижима, и в подборе соответствующего управления. Такой способ решения задачи программирования применяется в практике во многих случаях. При другом способе ищется допустимое управление, минимизирующее заданную плату управления. Математич. формулировка задачи такова. Даны: математич. модель объекта управления (1), (2); граничные условия на вектор х, к-рые символически запишем в виде

[Автоматического Управления Теория. Фото 33]

гладкая функция [Автоматического Управления Теория. Фото 34] и плата за принятое управление

[Автоматического Управления Теория. Фото 35]

Задача программирования: среди допустимых управлений требуется найти такое, при к-ром условия (6) выполняются, а функционал (7) принимает минимальное значение. Необходимые условия минимума этой неклассической вариационной задачи доставляются следующей теоремой, носящей название "принцип максимума Л. С. Понтрягина" (см. [4]). Введем в рассмотрение вспомогательный вектор [Автоматического Управления Теория. Фото 36] [Автоматического Управления Теория. Фото 37] и вспомогательную скалярную функцию

[Автоматического Управления Теория. Фото 38]

Функция Нпозволяет записать уравнение (1) и уравнение для вектора [Автоматического Управления Теория. Фото 39] в следующей форме:

[Автоматического Управления Теория. Фото 40]

Уравнение (9) является линейным и однородным относительно [Автоматического Управления Теория. Фото 41] имеет единственное непрерывное решение, определенное при любых начальных условиях [Автоматического Управления Теория. Фото 42] и [Автоматического Управления Теория. Фото 43] Вектор [Автоматического Управления Теория. Фото 44] наз. нулевым, если хотя бы одна из его компонент не обращается тождественно в нуль при [Автоматического Управления Теория. Фото 45] Справедлива теорема: для того чтобы кривая [Автоматического Управления Теория. Фото 46] доставляла сильный минимум функционалу (7), необходимо существование ненулевого непрерывного вектора [Автоматического Управления Теория. Фото 47] определенного уравнением (9), при к-ром функция [Автоматического Управления Теория. Фото 48] достигает максимума по и и выполняется условие трансверсальности

[Автоматического Управления Теория. Фото 49]

Пусть [Автоматического Управления Теория. Фото 50] - решение, отвечающее задаче. Доказано, что в стационарной системе функция [Автоматического Управления Теория. Фото 51] удовлетворяет условию

[Автоматического Управления Теория. Фото 52]

где С - постоянная, то есть (10) - ее первый интеграл. Решение [Автоматического Управления Теория. Фото 53] наз. программой управления.

Пусть [Автоматического Управления Теория. Фото 54] есть к.-л. (необязательно оптимальная) программа управления. Оказывается, что знание лишь одной программы управления недостаточно для достижения цели. Дело в том, что программа [Автоматического Управления Теория. Фото 55] как правило, неустойчива относительно любых сколь угодно малых изменений в задаче, в частности наиболее важных изменений начальных значений [Автоматического Управления Теория. Фото 56] или, иными словами, эта задача некорректна. Особенность некорректности, однако, заключается в том, что она может быть исправлена средствами автоматич. стабилизации, основанными только лишь на использовании "принципа обратной связи". В связи с этим возникает другая главная задача управления - задача определения закона обратной связи.

Пусть у- вектор возмущенного движения системы, а [Автоматического Управления Теория. Фото 57] - вектор, характеризующий дополнительное отклонение органа управления, предназначенное для гашения возмущенного движения. Для реализации отклонения x должен быть заранее предусмотрен соответствующий ресурс управления. Возмущенное движение будет описываться уравнением

[Автоматического Управления Теория. Фото 58]

Здесь: А, В - известные матрицы, определенные на движении [Автоматического Управления Теория. Фото 59] и суть известные функции времени; [Автоматического Управления Теория. Фото 60] - нелинейные члены разложения функции [Автоматического Управления Теория. Фото 61] [Автоматического Управления Теория. Фото 62] - постоянно действующая возмущающая сила, происходящая либо от того, что программное движение не определено точно, либо от того, что при построении модели (1) не были учтены к.-л. дополнительные силы. Уравнение (11) определено в окрестности [Автоматического Управления Теория. Фото 63] где [Автоматического Управления Теория. Фото 64] вообще говоря, достаточно малое, а в нек-рых случаях любое конечное положительное число или даже [Автоматического Управления Теория. Фото 65].

Заметим, что полная управляемость системы (1), вообще говоря, не гарантирует полной управляемости системы (11).

Будем говорить, что объект управления (11) наблюдаем по координатам [Автоматического Управления Теория. Фото 66] если существует набор готовых к действию измерительных приборов,

способных непрерывно производить измерения координат в любой момент времени [Автоматического Управления Теория. Фото 67] Значение этого определения может быть проиллюстрировано примером управления продольным движением самолета. Хотя авиация существует более 50 лет, до сих пор нет прибора, измеряющего возмущение угла атаки крыла самолета или высоту его полета вблизи земли. Совокупность измеряемых координат назовем полем регулирования и обозначим через [Автоматического Управления Теория. Фото 68][Автоматического Управления Теория. Фото 69]

Рассмотрим совокупность допустимых управлений [Автоматического Управления Теория. Фото 70], определенных над полем Р:

[Автоматического Управления Теория. Фото 71]

где [Автоматического Управления Теория. Фото 72] - векторный или матричный параметр. Будем говорить, что управление (12) представляет собой закон обратной связи, если операция замыкания [т. е. подстановка (12) в уравнение (11)] дает систему

[Автоматического Управления Теория. Фото 73]

невозмущенное движение к-рой у = 0асимптотически устойчиво (см. Асимптотически устойчивое решение). Система (13) наз. асимптотически устойчивой, если ее невозмущенное движение y= 0 асимптотически устойчиво.

Существует два класса задач, к-рые могут быть сформулированы относительно замкнутой системы (13): класс задач анализа и класс задач синтеза.

Рассмотрим допустимое управление (12), заданное c точностью до выбора параметра р, напр.

[Автоматического Управления Теория. Фото 74]

Задача анализа: требуется определить область Sзначений параметра р, для к-рых замкнутая система (13) асимптотически устойчива. Построение области Sосуществляется на основании методов, разработанных в теории устойчивости движения (см. Устойчивости теория).и нашедших широкое применение в А. у. т. В частности, отметим методы частотного анализа; методы, основанные: на Ляпунова теории устойчивости по первому приближению (теоремы Гурвица, Рауса и др.), на прямом методе Ляпунова построения v-функций, на теории Ляпунова - Пуанкаре построения периодич. решений, на методе гармонич. баланса, методе Б. В. Булгакова, методе А. А. Андронова, теории точечного преобразования поверхностей (см. [5]). Последняя группа методов дает возможность не только строить в пространстве Робласти S, но также проанализировать параметры устойчивых периодич. решений уравнения (13), характеризующих автоколебательные движения системы (13). Все эти методы получили широкое применение в практике автоматич. управления, и их изучают в рамках различных специальностей в высшей школе (см. [5]).

Если Sне пусто, то управление (12) наз. законом обратной связи, или законом регулирования. Его реализация, осуществленная с помощью совокупности измерительных приборов, усилителей, преобразователей и исполнительных устройств, наз. регулятором.

С задачей анализа тесно связана другая весьма важная для практики задача о построении границ области притяжения (см. [6], [7]). Рассмотрим систему (13), в к-рой [Автоматического Управления Теория. Фото 75] Множество значений [Автоматического Управления Теория. Фото 76] содержащее точку [Автоматического Управления Теория. Фото 77] для к-рых замкнутая система (13) сохраняет свойство асимптотич. устойчивости, наз. областью притяжения тривиального решения y = 0. Задача состоит в том, чтобы для данной замкнутой системы (13) и точки [Автоматического Управления Теория. Фото 78] определить границы области притяжения.

Современная научная литература не содержит эффективных методов построения границ области притяжения, за исключением редких случаев, в к-рых удается построить неустойчивые периодич. решения замкнутых систем. Однако имеются нек-рые методы, позволяющие построить границы множества значений [Автоматического Управления Теория. Фото 79] целиком содержащегося в области притяжения. В большинстве случаев эти методы основаны на оценке области фазового пространства, в к-ром Ляпунова функция удовлетворяет условию [Автоматического Управления Теория. Фото 80]

Любое решение [Автоматического Управления Теория. Фото 81] замкнутой системы (13) представляет так наз. переходный процесс. В большинстве случаев практич. значения нельзя ограничиться решением лишь проблемы устойчивости. При разработке проекта предъявляются дополнительные, имеющие важное практич. значение, требования, при к-рых гарантируется наличие у переходного процесса нек-рых новых свойств. Характер требований и перечень свойств существенно связаны с физич. природой объекта управления. В задачах анализа обеспечение этих свойств переходного процесса, напр, заданного времени регулирования [Автоматического Управления Теория. Фото 82] в ряде случаев может быть достигнуто за счет выбора параметра р. Задача выбора параметра рносит назв. проблемы качества регулирования (см. [5]), и методы решения этой проблемы связаны с тем или иным построением оценок решений [Автоматического Управления Теория. Фото 83] либо фактич. интегрированием уравнения (13), либо нахождением оценки этих решений экспериментально, с помощью аналоговой или цифровой вычислительной машины.

Задачи анализа переходных процессов имеют много иных формулировок во всех случаях, в к-рых [Автоматического Управления Теория. Фото 84] представляет собой случайную функцию, как, напр., в следящих системах (см. [5], [8]). Другие формулировки связаны с возможностью случайного изменения матриц А, В или даже функции j (см. [5], [8]). В связи с этим развивались методы исследования случайных процессов, методы адаптации и обучения машин (см. [9]). Исследовались также переходные процессы в системах с запаздыванием и системах с распределенными параметрами (см. [10], [11]), в системах с переменной структурой (см. [12]).

Задача синтеза: дано уравнение (11), поле регулирования [Автоматического Управления Теория. Фото 85] и множество [Автоматического Управления Теория. Фото 86][Автоматического Управления Теория. Фото 87] допустимых управлений; требуется найти все множество Мзаконов обратной связи (см. [13]). Одной из наиболее важных разновидностей этой задачи является задача о структуре минимальных полей. Поле [Автоматического Управления Теория. Фото 88] наз. минимальным полем, если на нем существует хотя бы один закон обратной связи и если размерность поля rминимальна. Задача состоит в том, чтобы для данного уравнения (11) и множества допустимых управлений определить структуру [Автоматического Управления Теория. Фото 89] всех его минимальных полей. Поясним характер задачи на примере:

[Автоматического Управления Теория. Фото 90]

[Автоматического Управления Теория. Фото 91] - заданные числа. Допустимые управления - множество кусочно непрерывных функций [Автоматического Управления Теория. Фото 92] принимающих свои значения из области

[Автоматического Управления Теория. Фото 93]

Минимальными полями в задаче являются либо поле [Автоматического Управления Теория. Фото 94] , либо поле [Автоматического Управления Теория. Фото 95] Размерность каждого поля равна единице и понизить ее нельзя (см. [13]).

Пока известен (1977) лишь один метод синтеза законов обратной связи, основанный на использовании функций Ляпунова (см. [13]). При этом существенную роль играет теорема Барбашина- Красовского (см. [6], [10], [15]): для того чтобы невозмущенное движение y=0 замкнутой системы

[Автоматического Управления Теория. Фото 96]

было асимптотически устойчиво, достаточно существования знакоопределенной положительной функции v(y), полная производная к-рой, в силу уравнения (14), есть функция [Автоматического Управления Теория. Фото 97] знакопостоянная отрицательная, однако такая, что на многообразии [Автоматического Управления Теория. Фото 98] не лежат целые траектории системы (14), кроме у=0. Задача выяснения существования и структуры минимальных полей имеет важное практич. значение, поскольку эти поля отвечают требованиям ГК о минимуме веса, габаритов, сложности, стоимости системы управления и ее максимальной надежности. Особый научный и практич. интерес эта задача приобретает для бесконечномерных систем, встречающихся в технике, биологии, медицине, экономике и социологии.

К сожалению, при проектировании систем управления невозможно ограничиться решением задачи синтеза законов обратной связи. В большинстве случаев требования ГК касаются обеспечения нек-рых важных спе-цифич. свойств переходного процесса в замкнутой системе. Важность этих требований видна на примере регулирования атомного реактора. В случае, если переходный процесс затягивается долее 5 сек или максимальное уклонение к.-л. его координаты превосходит заданное значение, происходит атомный взрыв. В связи с этим возникают новые задачи синтеза законов регулирования, определенных на множестве М. Приведем формулировку одной из таких задач. Рассмотрим две сферы:

[Автоматического Управления Теория. Фото 99]

- заданные числа. Обратимся к множеству Мвсех законов обратной связи. Возьмем любой из них и произведем замыкание, получим уравнение:

[Автоматического Управления Теория. Фото 100]

Рассмотрим все множество решений y(t, у 0 )уравнения (15), начинающихся на сфере R. Будем называть их R- решениями. Поскольку система (15) асимптотически устойчива для любого y0 на сфере, существует момент времени t1 при к-ром соблюдаются условия

[Автоматического Управления Теория. Фото 101]

при любом [Автоматического Управления Теория. Фото 102]

Пусть

[Автоматического Управления Теория. Фото 103]

Из определения [Автоматического Управления Теория. Фото 104] ясно, что [Автоматического Управления Теория. Фото 105] существует. Интервал [Автоматического Управления Теория. Фото 106] наз. временем регулирования (затухания переходного процесса) в замкнутой системе (15), если любое R-решение выходит на сферу [Автоматического Управления Теория. Фото 107] при [Автоматического Управления Теория. Фото 108] и остается внутри ее при [Автоматического Управления Теория. Фото 109] Очевидно, что время регулирования есть функционал вида [Автоматического Управления Теория. Фото 110] Пусть Т - заданное число. Возникает задача синтеза быстродействующих регуляторов: дано множество Мзаконов обратной связи, требуется выделить такое его подмножество M1, на к-ром время регулирования в замкнутой системе удовлетворяет условию

[Автоматического Управления Теория. Фото 111]

Аналогично могут быть сформулированы задачи синтеза множеств [Автоматического Управления Теория. Фото 112] законов обратной связи, при к-рых соблюдаются другие k-1 требований ГК.

Главная задача синтеза об удовлетворении всех требований ГК разрешима, если множества [Автоматического Управления Теория. Фото 113] имеют непустое пересечение (см. [13]).

Наиболее детально задача синтеза изучена для случая, в к-ром поле Римеет максимальную размерность [Автоматического Управления Теория. Фото 114] а показатель качества системы характеризуется функционалом

[Автоматического Управления Теория. Фото 115]

где [Автоматического Управления Теория. Фото 116] - знакоопределенная положительная функция по [Автоматического Управления Теория. Фото 117] В этом случае задача наз. задачей аналитического конструирования оптимальных регуляторов (см. [14].) и формулируется так. Даны уравнение (11), класс допустимых управлений [Автоматического Управления Теория. Фото 118] определенных над полеис Р(у).максимальной размерности, и функционал (16). Требуется найти управление [Автоматического Управления Теория. Фото 119] при к-ром функционал (16) достигает минимального значения. Эта задача разрешается теоремой: если уравнение (11) таково, что можно найти знакоопределенную положительную допускающую бесконечно малый высший предел функцию [Автоматического Управления Теория. Фото 120] и функцию [Автоматического Управления Теория. Фото 121] такие, что выполняется равенство

[Автоматического Управления Теория. Фото 122]

и справедливо неравенство

[Автоматического Управления Теория. Фото 123]

при любых допустимых [Автоматического Управления Теория. Фото 124] то функция [Автоматического Управления Теория. Фото 125] разрешает задачу. При этом имеет место равенство

[Автоматического Управления Теория. Фото 126]

Функция [Автоматического Управления Теория. Фото 127] наз. оптимальной функцией Ляпунова (см. [15]). Она служит решением уравнения (17) с частными производными типа Гамильтона - Якоби, удовлетворяющего условию [Автоматического Управления Теория. Фото 128] Методы эффективного решения такой задачи разработаны для случая, в к-ром функции [Автоматического Управления Теория. Фото 129] допускают разложение в целые сходящиеся ряды по [Автоматического Управления Теория. Фото 130] с коэффициентами, являющимися непрерывными и ограниченными функциями от [Автоматического Управления Теория. Фото 131] При этом принципиальное значение имеет разрешимость задачи по линейному приближению в уравнении (11) и оптимизации лишь интеграла от квадратичных членов, удерживаемых в разложении [Автоматического Управления Теория. Фото 132] Разрешимость же последней задачи гарантируется соблюдением условия полной управляемости (см. [15]).

[Автоматического Управления Теория. Фото 133]

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • C6ClF5, мол. м. 202,51; бссцв. жидкость с резким запахом; существует в трех кристаллич. модификациях, т-ры полиморфных переходов -82 0C и -28 0C, переход

  • вещества, жидкое и тв. агрегатные состояния в-ва. В отличие от газообразного состояния у в-ва в К. с. существует упорядоченность в расположен