Математическая энциклопедия » Что такое «Аддитивная Теория Идеалов»?

Значение слова, определение и толкование термина

Аддитивная Теория Идеалов

Additivnaya Teoriya Idealov

одна из ветвей современной алгебры. Главная задача А. т. и.- представление любого идеала кольца (или другой алгебраич. системы) в виде пересечения конечного числа идеалов специального вида (примерных, терциарных, при-мальных, одночастных и др.). При этом вид представлений выбирается так, что: 1) для любого идеала существует нужное представление, или, что то же, справедлива нек-рая теорема "существования"; 2) выбранные представления должны быть единственны с точностью до каких-то ограничений, или, что то же, выполняется нек-рая теорема "единственности". Начало А. т. и. было положено в 20-30-х гг. 20 в. работами Э. Нётер [1] и В. Крулля [2].

Все особенности А. т. и. отчетливо проявляются в случае колец. Пусть [Аддитивная Теория Идеалов. Фото 1]- нётерово кольцо, т. е. - ассоциативное кольцо с условием максимальности для идеалов. Если А - идеал в R, то существует наибольший идеал Nкольца R, обладающий свойством:[Аддитивная Теория Идеалов. Фото 2] для нек-рого натурального [Аддитивная Теория Идеалов. Фото 3] Этот идеал [Аддитивная Теория Идеалов. Фото 4] наз. примерным радикалом идеала А(в кольце R).и обозначается через [Аддитивная Теория Идеалов. Фото 5] Идеал [Аддитивная Теория Идеалов. Фото 6] кольца [Аддитивная Теория Идеалов. Фото 7] наз. примарным, если для любых двух идеалов А, В в Rвыполняется условие:

[Аддитивная Теория Идеалов. Фото 8]

Для примарных идеалов верна теорема пересечения: пересечение любых двух примарных идеалов с одним и тем же примарным радикалом Рсамо есть при-марный идеал с тем же радикалом Р. С помощью этой теоремы доказывается теорема существования: если кольцо Rкоммутативно, то для любого идеала [Аддитивная Теория Идеалов. Фото 9] существует такое представление идеала Ав виде пересечения конечного числа примарных идеалов

[Аддитивная Теория Идеалов. Фото 10][Аддитивная Теория Идеалов. Фото 11]

что ни один из идеалов А i не содержит пересечения остальных, и примарные радикалы [Аддитивная Теория Идеалов. Фото 12] попарно различны. Такие представления наз. несократимым и, или примарно редуцированными (см. [1], [4]). Для этих представлений верна теорема единственности: если (1) и

[Аддитивная Теория Идеалов. Фото 13]

- два примарно редуцированных представления идеала [Аддитивная Теория Идеалов. Фото 14] при надлежащей перенумеровке идеалов Bi

Именно А. т. и. нётеровых коммутативных колец (классич. А. т. и.) нашла многочисленные применения в различных разделах математики.

Если кольцо Rнекоммутативно, то теорема "существования", указанная выше, перестает быть верной, в то время как теоремы "единственности" и "пересечения" верны. Этот факт начиная с 30-х гг. 20 в. привел к поискам такого обобщения классич. примарности на некоммутативный случай, при к-ром оставалась бы справедливой и теорема "существования". Было найдено нужное обобщение (см. [4]) - терциарность (см. Терциарный идеал). В дальнейшем было показано, что при нек-рых естественных ограничениях терциарность является единственным "хорошим" обобщением понятия примарности (см. [6], [7], [8]).

В 60-е гг. 20 в. А. т. и. развивалась в рамках теорий решеток, систем с частными и мультипликативных систем (см. [4], [5], [6]), что дало толчок развитию, напр., А. т. и. неассоциативных колец, нормальных делителей группы и подмодулей модуля.

[Аддитивная Теория Идеалов. Фото 15]

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • УРОВНИ ЭНЕРГИИ        возможные значения энергии квант. систем (атомов, молекул, ат. ядер и т. д.), состоящих из микрочастиц и подчиняющихся

  • р-ры фено-ло-формальдегидных олигомеров (пленкообразователей) в орг. р-рителях. В качестве пленкообразователя используют немодифицир. и мо