Математическая энциклопедия » Что такое «Адамара Теорема»?

Значение слова, определение и толкование термина

Адамара Теорема

Adamara Teorema

- 1) А. т. о лакунах (о пропусках): если номера n1, п 2, ... всех отличных от нуля коэффициентов степенного ряда

[Адамара Теорема. Фото 1]

удовлетворяют условию

[Адамара Теорема. Фото 2]

где [Адамара Теорема. Фото 3] то граница круга сходимости этого ряда является его естественной границей, т. е. функция не может быть аналитически продолжена за пределы этого круга. Условие (*) наз. условием Адамара; лакуны, удовлетворяющие условию Адамара, наз. лакунами Адамара. См. также Лакунарный ряд, Фабри теорема.

[Адамара Теорема. Фото 4]

2) А. т. о целых функциях- теорема о представлении целых функций с помощью их нулей, уточняющая Вейерштрасса теорему о бесконечных произведениях в случае целой функции [Адамара Теорема. Фото 5] конечного порядка [Адамара Теорема. Фото 6] Если, для простоты, [Адамара Теорема. Фото 7] то

[Адамара Теорема. Фото 8]

где [Адамара Теорема. Фото 9] - многочлен степени не выше [Адамара Теорема. Фото 10] а

[Адамара Теорема. Фото 11]

- каноническое произведение Веиерштрасса рода [Адамара Теорема. Фото 12] построенное по нулям [Адамара Теорема. Фото 13] функции [Адамара Теорема. Фото 14] Иначе говоря, А. т. утверждает, что род целой функции не превосходит ее порядка. Эта теорема использовалась Ж. Адама-ром при доказательстве асимптотич. закона распределения простых чисел.

Лит.:[1] Hadamard J., "J. math, pures et appl.", ser. 4, 1893, t. 9, p. 171-215; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функции, 2 изд., т. 2, М., 1968, гл. 2; [3] Левин Б. Я., Распределение корней целых функций, М., 1956. Е. Д. Соломенцев.

3) А. т. об определителях: пусть D - определитель матрицы с элементами [Адамара Теорема. Фото 15] Тогда имеет место неравенство

[Адамара Теорема. Фото 16]

Равенство имеет место в том и только в том случае, когда

[Адамара Теорема. Фото 17]

для каждой пары различных [Адамара Теорема. Фото 18] или когда хотя бы один множитель в правой части [Адамара Теорема. Фото 19] равен нулю. Геометрич. смысл этой теоремы заключается в том, что объем параллелепипеда в n-мерном пространстве не превышает произведения длин его ребер, исходящих из одной вершины, и что равенство имеет место, когда эти ребра взаимно перпендикулярны или когда длина одного из ребер равна нулю.

Ж. Адамар в [1] рассматривал эту задачу для определителя с комплексными элементами.

Лит.:[1] Hadamard J., "Bull. sci. math.", 1893, ser. 2, t. 17, pt. 1, p. 240-6. О. <А. <Иванова.

4) А. т. о трех кругах: если f(z) - голоморфная функция комплексного переменного [Адамара Теорема. Фото 20] в кольце [Адамара Теорема. Фото 21] непрерывная в замкнутом кольце [Адамара Теорема. Фото 22] то справедливо неравенство

[Адамара Теорема. Фото 23]

Это неравенство означает, что log М(r).есть выпуклая функция от log r. А. т. является частным случаем двух констант, теоремы.

А. т. допускает обобщения в различных направлениях, в частности обобщение для других метрик, для гар-монич. и субгармонич. функций.

[Адамара Теорема. Фото 24]

5) А. т. мультипликационная, А. т. об умножении особенностей: если степенные ряды

[Адамара Теорема. Фото 25]

имеют, соответственно, радиусы сходимости [Адамара Теорема. Фото 26] и [Адамара Теорема. Фото 27][Адамара Теорема. Фото 28] если [Адамара Теорема. Фото 29] - звезды Миттаг-Леффлера (см. Звезда элемента функции), соответственно, для [Адамара Теорема. Фото 30] и [Адамара Теорема. Фото 31] и если [Адамара Теорема. Фото 32]- множество особых точек функции [Адамара Теорема. Фото 33] на границе звезды [Адамара Теорема. Фото 34] - множество особых точек функции [Адамара Теорема. Фото 35] на границе звезды [Адамара Теорема. Фото 36] то степенной ряд

[Адамара Теорема. Фото 37]

имеет радиус сходимости [Адамара Теорема. Фото 38] а его звезда Миттаг-Леффлера [Адамара Теорема. Фото 39] содержит звезду-произведение [Адамара Теорема. Фото 40] [Адамара Теорема. Фото 41] где [Адамара Теорема. Фото 42] обозначает дополнение множества [Адамара Теорема. Фото 43] и [Адамара Теорема. Фото 44] - множество всех произведений [Адамара Теорема. Фото 45] чисел [Адамара Теорема. Фото 46] [Адамара Теорема. Фото 47] кроме того, из угловых и хорошо достижимых точек границы звезды-произведения особыми точками функции [Адамара Теорема. Фото 48] могут быть лишь точки произведения множеств [Адамара Теорема. Фото 49] Первоначальные формулировки теоремы (см. [1], [2]) были несколько отличны от приведенной выше, они потребовали уточнений (см. [2]).

Степенной ряд (2) наз. адамаровским произведением, или адамаровской композицией, степенных рядов (1). Свойства адама-ровского произведения, выявленные этой А. т. и в последующих исследованиях (см. [3]), позволяют использовать его в вопросах аналитич. родолжения степенных рядов, когда по коэффициентам ряда вида (2) оказывается возможным сделать нек-рые заключения об особенностях представляемой им аналитич. функции.

Если К - произвольное компактное множество, расположенное внутри звезды-произведения [Адамара Теорема. Фото 50] то найдется такой замкнутый спрямляемый контур L, расположенный внутри [Адамара Теорема. Фото 51] и охватывающий К, что для всех [Адамара Теорема. Фото 52] справедливо интегральное представление адамаровского произведения:

[Адамара Теорема. Фото 53]

Представление (3) также применяется в вопросах аналитич. родолжения.

Лит.:[1] Hadamard J., "Acta math.", 1899, Bd 22, S. 55-63; [2] eго же, "Scientia Phys.-math.", 1901, №12; [3] Бибербах Л., Аналитическое продолжение, пер. с нем., М., 1967. Е. Д. Соломенцев.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • (антимикотики), лек. в-ва, применяемые для лечения грибковых заболеваний (микозов). П. с. делят: по способу использования-на ср-ва наружного (м

  • (ринит), воспаление слизистой оболочки носа в результате охлаждения, инфекции, аллергии.

  • то же, что микрочастицы, частицы очень малые, к которым относятся все объекты квантовой механики: электроны, другие элементарные частицы, а