Математическая энциклопедия » Что такое «Абсолютное Значение»?

Значение слова, определение и толкование термина

Абсолютное Значение

Absolyutnoye Znacheniye

на теле - отображение [Абсолютное Значение. Фото 1] тела Кв множество [Абсолютное Значение. Фото 2] действительных чисел, удовлетворяющее условиям:

[Абсолютное Значение. Фото 3]

А. з. часто обозначается [Абсолютное Значение. Фото 4] вместо [Абсолютное Значение. Фото 5] . А. з. наз. также нормой, мультипликативным нормированием. А. з. могут рассматриваться на любом кольце со значениями в линейно-упорядоченном кольце [4] (см. также Нормирование).

Примеры А. з. Если [Абсолютное Значение. Фото 6] - поле действительных чисел, то [Абсолютное Значение. Фото 7] является абсолютной величиной, или модулем, числа [Абсолютное Значение. Фото 8] Аналогично, если К - поле [Абсолютное Значение. Фото 9] комплексных чисел или тело [Абсолютное Значение. Фото 10] кватернионов, то [Абсолютное Значение. Фото 11] есть А. з. Подполя этих полей также снабжаются индуцированным А. з. Любое тело имеет тривиальное А. з.:

[Абсолютное Значение. Фото 12]

конечные поля и их алгебраич. расширения имеют только такие А. з.

Примеры А. з. другого типа доставляют логариф-мич. нормирования тела [Абсолютное Значение. Фото 13]: если [Абсолютное Значение. Фото 14] - нормирование Ксо значениями в группе [Абсолютное Значение. Фото 15] и [Абсолютное Значение. Фото 16] - действительное число,

[Абсолютное Значение. Фото 17] является А. з. Например, если [Абсолютное Значение. Фото 18] а [Абсолютное Значение. Фото 19] есть р-адическое нормирование поля [Абсолютное Значение. Фото 20], то [Абсолютное Значение. Фото 21] называется р-aдическим А. з., или р-адической нормой. Эти А. з. удовлетворяют более сильному, чем 3), условию А. [Абсолютное Значение. Фото 22] з., удовлетворяющие условию 4), наз. ультраметрическими А. з., или неархимедовыми А. з. (в отличие от архимедовых А. з., не удовлетворяющих этому условию). Они характеризуются тем, что [Абсолютное Значение. Фото 23] для всех целых п.

Все А. з. тела характеристики [Абсолютное Значение. Фото 24] являются ультраметрич. А. з. Все ультраметрич. А. з. получаются из нормировании указанным выше способом: [Абсолютное Значение. Фото 25] (и обратно, за нормирование всегда можно взять - [Абсолютное Значение. Фото 26]).

А. з. [Абсолютное Значение. Фото 27] определяет метрику на К, если за расстояние между хи упринять [Абсолютное Значение. Фото 28] и тем самым определяет топологию на К. Так, топология любого локально компактного тела определяется нек-рым абсолютным значением. А. з. [Абсолютное Значение. Фото 29] наз. эквивалентными, если они определяют одну топологию; в этом случае существует такое [Абсолютное Значение. Фото 30] что [Абсолютное Значение. Фото 31] для всех [Абсолютное Значение. Фото 32]

Структура всех архимедовых А. з. дается теоремой Островского: если [Абсолютное Значение. Фото 33]- архимедово А. з. на теле К, то существует такой изоморфизм Кна нек-рое всюду плотное подтело тела [Абсолютное Значение. Фото 34] что [Абсолютное Значение. Фото 35] эквивалентно А. з., индуцированному с [Абсолютное Значение. Фото 36]

Любое нетривиальное А. з. поля [Абсолютное Значение. Фото 37] рациональных чисел эквивалентно либо р-адическому А. з.[Абсолютное Значение. Фото 38] (где р - простое число), либо обычной абсолютной величине. При этом для любого рационального числа rОQ

[Абсолютное Значение. Фото 39]

Аналогичная формула имеет место и для полей алгебраич. чисел (см. [2], [3]).

Если [Абсолютное Значение. Фото 40] - нек-рое А. з. тела К, то Кможет быть вложено, при помощи классич. процесса пополнения, в тело К j, полное относительно А. з., продолжающего

[Абсолютное Значение. Фото 41] (см. Полное топологическое пространство). Одним из основных современных методов изучения полей является вложение поля Кв прямое произведение [Абсолютное Значение. Фото 42] пополнений [Абсолютное Значение. Фото 43] по всем А. з. (см. Адель);поле Кплотно лежит в [Абсолютное Значение. Фото 44] именно, если [Абсолютное Значение. Фото 45] - нетривиальные неэквивалентные А. з. на поле К, a1..., а n - элементы из К и [Абсолютное Значение. Фото 46] то существует такое [Абсолютное Значение. Фото 47] что [Абсолютное Значение. Фото 48] для всех [Абсолютное Значение. Фото 49] (теорема аппроксимации для А. з.).

А. з. поля Кможет быть продолжено (вообще говоря неоднозначно) на любое алгебраич. расширение поля К. Если Кполно относительно А. з. [Абсолютное Значение. Фото 50] а Л есть расширение Кстепени п, то продолжение [Абсолютное Значение. Фото 51] на Lединственно и задается формулой [Абсолютное Значение. Фото 52] для [Абсолютное Значение. Фото 53]

Лит.:[1] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [3] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [4] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [5] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969. В. И. Данилов.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • соед. Hg с S, Se, Те общей ф-лы HgX (табл. 1). Сульфид HgS существует в двух модификациях-a (киноварь) и b (метациннабарит); т-ра перехода ab 345 °С, АН пере

  • сложные белки группы иммуноглобулинов, образующиеся в организме человека и теплокровных животных при попадании в них антигенов и нейтрал