Математическая энциклопедия » Что такое «Абсолютно Сходящийся Ряд»?

Значение слова, определение и толкование термина

Абсолютно Сходящийся Ряд

Absolyutno Skhodyashchysya Ryad

- ряд

[Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 1]

с (вообще говоря) комплексными членами, для к-рого сходится ряд

[Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 2]

Для абсолютной сходимости ряда (1) необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной сходимости ряда), чтобы для любого [Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 3] существовал такой номер [Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 4], что для всех номеров [Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 5] и всех целых [Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 6] выполнялось неравенство

[Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 7]

Если ряд абсолютно сходится, то он сходится. Ряд

[Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 8]

абсолютно сходится [Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 9] а ряд

[Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 10]

сходится, но не абсолютно. Пусть

[Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 11]

- ряд, составленный из тех же членов, что и ряд (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Из абсолютной сходимости ряда (1) следует и абсолютная сходимость ряда (3), и ряд(З) имеет ту же самую сумму, что и ряд (1). Если ряды

[Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 12]

абсолютно сходятся, то: любая их линейная комбинация


[Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 13]

также абсолютно сходится; ряд, полученный из всевозможных попарных произведений [Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 14] членов этих рядов, расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна произведению сумм данных рядов. Перечисленные свойства абсолютно сходящихся рядов переносятся и на кратные ряды

[Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 15]

При этом, если кратный ряд абсолютно сходится, то он сходится, напр., как в смысле сферических частных сумм, так и в смысле прямоугольных; притом его сумма в обоих случаях оказывается одной и той же. Если кратный ряд (4) абсолютно сходится, то повторный ряд

[Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 16]

абсолютно сходится, т. е. абсолютно сходятся все ряды, получающиеся последовательным суммированием членов ряда (4) по индексам [Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 17] причем суммы кратного ряда (4) и повторного (5) равны и совпадают с суммой любого однократного ряда, образованного из всех членов ряда (4).

Если члены ряда (1) суть элементы нек-рого банахова пространства с нормой элементов [Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 18] то ряд (1) наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд

[Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 19]

На случай А. с. р. элементов банахова пространства также обобщаются рассмотренные выше свойства абсолютно сходящихся числовых рядов, в частности А. с. р. элементов банахова пространства сходится в этом пространстве. Аналогичным образом понятие А. с. р. переносится и на кратные ряды в банаховом пространстве.

[Абсолютно Сходящийся Ряд. Фото 20]

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА        совокупность макроскопич. тел, к-рые могут взаимодействовать между собой и с др. телами (внеш. средой) — о

  • соответствие между точками сферы и плоскости, получаемое следующим образом; из нек-рой точки Sна сфере (центра С. п.) другие точки сферы прое

  • спора бесполого размножения базидиальных, несовершенных и сумчатых грибов; развивается вне спорангия. Играет важную роль в массовом рассе