Математическая энциклопедия » Что такое «Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл»?

Значение слова, определение и толкование термина

Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл

Absolyutno Skhodyashchysya Nesobstvenny Integral

- несобственный интеграл, для к-рого интеграл от абсолютной величины подинтегральной функции сходится. Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и просто сходится. Пусть дан (для определенности) несобственный интеграл вида:

[Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 1]

где функция [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 2] интегрируема по Риману (или по Лебегу) на любом отрезке [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 3]

Для абсолютной сходимости интеграла (*) необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной сходимости несобственного интеграла), чтобы для любого [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 4] существовало такое [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 5] что для всех [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 6] выполнялось неравенство

[Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 7]

Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он равен интегралу Лебега от рассматриваемой функции. Существуют несобственные интегралы, сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся, напр.

[Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 8]

Чтобы определить сходится или нет заданный интеграл абсолютно, полезно использовать признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций; напр., с помощью сравнения признака устанавливается абсолютная сходимость интеграла

[Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 9]

Для кратных несобственных интегралов (в большей части имеющихся определений) связь сходимости и абсолютной сходимости интегралов другая. Пусть на открытом множестве G n-мерного евклидова пространства определена функция [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 10] Если для любой последовательности кубируемых областей [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 11] монотонно исчерпывающей область [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 12] и [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 13] [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 14] существует при [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 15] предел интегралов Римана

[Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 16]
и этот предел не зависит от выбора указанной последовательности областей, то он обычно и наз. несобственным интегралом

[Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 17]

Так определенный интеграл сходится тогда и только тогда, когда он абсолютно сходится. Существуют и другие определения несобственных кратных интегралов. Напр., для функции f(х), определенной на всем пространстве [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 18] и интегрируемой по Риману на любом n-мерном шаре [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 19] радиуса [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 20] можно определить несобственный интеграл по [Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 21] равенством

[Абсолютно Сходящийся Несобственный Интеграл. Фото 22]

В этом случае из абсолютной сходимости интеграла снова следует просто сходимость, но обратное неверно. Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 2, М., 1973; [2] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, 2 изд., М., 1973; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975. Л. Д. Кудрявцев.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • - метод для расчета сжимаемых течении сплошной среды [1]. К. ч. м. основывается на расщеплении исходной системы дифференциальных уравнений п

  • (от дис... и греч. lalia - речь), то же, что косноязычие.

  • узкая крутосклонная долина (чаще горная), глубина к-рой обычно превышает ширину; в отличие от каньона и теснины, дно У. не полностью занято р