Математическая энциклопедия » Что такое «Абсолютно Интегрируемая Функция»?

Значение слова, определение и толкование термина

Абсолютно Интегрируемая Функция

Absolyutno Integriruyemaya Funktsiya

функция, у к-рой интегрируема ее абсолютная величина. Если функция [Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 1] интегрируема по Риману на отрезке [Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 2] то ее абсолютная величина интегрируема по Риману на этом отрезке и

[Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 3]

Аналогичное утверждение справедливо для функции ппеременных, интегрируемой по Риману на кубируемой области га-мерного евклидова пространства. Обратное утверждение для функций, интегрируемых по Риману, не справедливо: функция [Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 4] равная 1 для рациональных хи - 1 для иррациональных, не интегрируема по Риману, а ее абсолютная величина интегрируема. Для функций, интегрируемых по Лебегу, дело обстоит иначе: функция [Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 5] интегрируема по Лебегу (суммируема) на измеримом множестве Е n -мерного пространства тогда и только тогда, когда на этом множестве интегрируема по Лебегу ее абсолютная величина, при этом справедливо неравенство:

[Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 6]

В случае несобственных одномерных интегралов в смысле Римана или Лебега по промежутку [Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 7] [Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 8] (при условии, что функция f(x) интегрируема по Риману или, соответственно, по Лебегу на любом отрезке [Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 9] ) из существования несобственного интеграла от абсолютной величины функции

[Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 10]

следует и существование интеграла

[Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 11]

но не наоборот (см. Абсолютно сходящийся несобственный интеграл). При этом, если существует несобственный интеграл

[Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 12]

то функция f(х).интегрируема по Лебегу на промежутке [ а, b).и несобственный интеграл от нее равен интегралу Лебега.

В случае функций многих переменных (число к-рых n>1) несобственные интегралы обычно определяются таким образом, что существование несобственного интеграла от абсолютной величины функции равносильно существованию несобственного интеграла от самой функции.

Пусть значения функции [Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 13] принадлежат нек-рому банахову пространству с нормой [Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 14] Тогда функция [Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 15] наз. абсолютно интегрируемой на измеримом множестве Е, если существует интеграл

[Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 16]

при этом, если функция [Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 17] интегрируема на Е, то

[Абсолютно Интегрируемая Функция. Фото 18]

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк 9. Г., Основы математического анализа, ч. 1, 3 изд., М., 1971; [2] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, 2 изд., М., 1973; [3]Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975; [4] Шварц Л., Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972. Л. <Д. <Кудрявцев.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • топологического пространства - элемент топологии этого пространства. Подробнее, пусть топология t топологич. пространства (X, t) определяет

  • малая планета (№ 852) диам. ок. 10 км, открыта С. И. Белявским (Симеиз, 1916), названа в 1924 по имени В. И. Ленина. Расстояние В. от Солнца изменяется от

  • (лимнология), раздел гидрологии суши, изучающий континентальные водоёмы с замедленным водообменом (озёра, водохранилища, пруды). О. использ