Математическая энциклопедия » Что такое «Абсолютная Суммируемость»?

Значение слова, определение и толкование термина

Абсолютная Суммируемость

Absolyutnaya Summiruyemost

специальный вид суммируемости рядов и последовательностей, выделяемый из обычной суммируемости наложением дополнительных условий. В матричном методе суммирования эти условия состоят в требовании абсолютной сходимости рядов или последовательностей, полученных в результате преобразования, соответствующего данному методу суммирования. Пусть метод суммирования Аопределен преобразованием последовательности [Абсолютная Суммируемость. Фото 1] в последовательность [Абсолютная Суммируемость. Фото 2] посредством матрицы [Абсолютная Суммируемость. Фото 3]

[Абсолютная Суммируемость. Фото 4]

тогда последовательность [Абсолютная Суммируемость. Фото 5] абсолютно суммируема методом [Абсолютная Суммируемость. Фото 6] к пределу s, если она A-суммируема к этому пределу, т. е.

[Абсолютная Суммируемость. Фото 7]
и последовательность [Абсолютная Суммируемость. Фото 8] имеет ограниченную вариацию:

[Абсолютная Суммируемость. Фото 9]

Если [Абсолютная Суммируемость. Фото 10] являются частичными суммами ряда

[Абсолютная Суммируемость. Фото 11]

то в этом случае ряд (2) абсолютно суммируем методом Ак сумме s. Условие (1) и есть то дополнительное условие, к-рое выделяет в этом случае А. с. из обычной суммируемости. Аналогично определяется А. с. для методов, определяемых матричными преобразованиями рядов в последовательности. Если же метод суммирования определен преобразованием ряда (2) в ряд

[Абсолютная Суммируемость. Фото 12]

посредством матрицы [Абсолютная Суммируемость. Фото 13]

[Абсолютная Суммируемость. Фото 14]

то дополнительное условие здесь состоит в требовании абсолютной сходимости ряда (3). В частном случае, когда методу Асоответствует тождественное преобразование последовательности в последовательность или ряда в ряд, А. с. ряда совпадает с его абсолютной сходимостью.

Для нематричных методов суммирования соответствующие дополнительные условия надлежащим образом видоизменяются. Так, для Абеля метода суммирования таким условием является требование, чтобы функция

[Абсолютная Суммируемость. Фото 15]

имела ограниченную вариацию на полуинтервале 0<=x<1. Для интегральных методов суммирования А. с. выделяется требованием абсолютной сходимости соответствующих интегралов. Так, в Бореля методе суммирования должен абсолютно сходиться интеграл

[Абсолютная Суммируемость. Фото 16]

Метод суммирования наз. сохраняющим абсолютную сходимость ряда, если он абсолютно суммирует каждый абсолютно сходящийся ряд. Если каждый такой ряд суммируем этим методом к той же сумме, к к-рой он сходится, то метод наз. а б-солютно регулярным. Напр., Чезаро метод суммирования [Абсолютная Суммируемость. Фото 17] абсолютно регулярен при [Абсолютная Суммируемость. Фото 18] Метод Абеля абсолютно регулярен. Необходимыми и достаточными условиями абсолютной регулярности метода суммирования, определенного преобразованием ряда в ряд посредством матрицы [Абсолютная Суммируемость. Фото 19] являются условия:

[Абсолютная Суммируемость. Фото 20]

(теорема Кноппа- Лоренца). Имеются аналоги этих условий и для методов суммирования, определяемых преобразованиями других видов.

Обобщением А. с. является абсолютная суммируемость в степени [Абсолютная Суммируемость. Фото 21] Дополнительным условием, выделяющим А. с. в степени риз обычной суммируемости, напр., для метода суммирования, заданного преобразованием последовательности [Абсолютная Суммируемость. Фото 22] в последовательность [Абсолютная Суммируемость. Фото 23] является условие:

[Абсолютная Суммируемость. Фото 24]

Понятие А. с. введено Э. Борелем (Е. Borel) для одного из его методов в формулировке, отличной от современной: А. с. выделялась требованием

[Абсолютная Суммируемость. Фото 25]

для каждого [Абсолютная Суммируемость. Фото 26] А. с. применялась первоначально при исследовании суммируемости степенных рядов вне круга сходимости. В связи с вопросами умножения суммируемых рядов была определена и исследовалась А. с. методами суммирования Чезаро ([Абсолютная Суммируемость. Фото 27] суммируемость). Общее определение А. с. возникло позже и получило широкое применение в исследованиях по суммированию рядов Фурье.

Лит.:[1] Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [2] Kogbetliantz E., Summation des series et integrates divergentes par les moyennes arlthmetiques et typiques, P., 1931; [3] Knopp K., Lorentz G. G., "Arch. Math.", 1949/50, Bd 2, S. 10 - 16; [4] Кангро Г. Ф., в сб.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974. И. И. Волков.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • (2-метил-1,3-бутадиен), СН2= =С(СНз)СН=СН2, диеновый углеводород, бесцв. жидкость, tкип 34,1 0С. Выделяют из газов пиролиза нефтепродуктов; получают с

  • группа минералов кл. самородных элементов, природный твёрдый р-р Os, Ir, Ru. Состав отвечает ряду невьянскит (иридосмин) (Ir, Os) - сысертскит (Os, Ir).

  • область математики, в к-рой изучаются геом. фигуры на сфере. Развитие С. г. в антич. древности было связано с задачами сферич. астрономии.