Математическая энциклопедия » Что такое «Абсолютная Непрерывность»?

Значение слова, определение и толкование термина

Абсолютная Непрерывность

Absolyutnaya Nepreryvnost

1) А. н. интеграла- свойство неопределенного интеграла (Лебега). Пусть функция f [Абсолютная Непрерывность. Фото 1] -интегрируема на множестве Е. Интеграл от f на [Абсолютная Непрерывность. Фото 2] -измеримых подмножествах [Абсолютная Непрерывность. Фото 3] является абсолютно непрерывной функцией (см. ниже - п. 3) множества относительно меры m, т. е. для всякого [Абсолютная Непрерывность. Фото 4] найдется такое [Абсолютная Непрерывность. Фото 5] что интеграл [Абсолютная Непрерывность. Фото 6] для любого множества [Абсолютная Непрерывность. Фото 7] В общем случае интеграл по конечно аддитивной функции множества m как со скалярными, так и с векторными f или m есть абсолютно непрерывная функция.

А. П. Терехин, В. Ф. Емельянов.

2) А. н. меры- понятие теории меры. Мера [Абсолютная Непрерывность. Фото 8] наз. абсолютно непрерывной относительно меры [Абсолютная Непрерывность. Фото 9] если [Абсолютная Непрерывность. Фото 10] - абсолютно непрерывная функция множества относительно [Абсолютная Непрерывность. Фото 11] Так, пусть [Абсолютная Непрерывность. Фото 12] - конечная мера, заданная с m на нек-рой фиксированной [Абсолютная Непрерывность. Фото 13] -алгебре G;тогда [Абсолютная Непрерывность. Фото 14] абсолютно непрерывна относительно [Абсолютная Непрерывность. Фото 15] если из [Абсолютная Непрерывность. Фото 16] [Абсолютная Непрерывность. Фото 17] следует [Абсолютная Непрерывность. Фото 18] Обобщенная конечная мера v абсолютно непрерывна относительно обобщенной меры [Абсолютная Непрерывность. Фото 19] если [Абсолютная Непрерывность. Фото 20] как только [Абсолютная Непрерывность. Фото 21] где [Абсолютная Непрерывность. Фото 22] - полная вариация [Абсолютная Непрерывность. Фото 23] А. П. Терехин.3) А. н. функции- усиление понятия непрерывности. Функция [Абсолютная Непрерывность. Фото 24] определенная на отрезке [Абсолютная Непрерывность. Фото 25] наз. абсолютно непрерывной, если для любого [Абсолютная Непрерывность. Фото 26] существует такое [Абсолютная Непрерывность. Фото 27] что для любой конечной системы попарно непересекающихся интервалов [Абсолютная Непрерывность. Фото 28] для которой

[Абсолютная Непрерывность. Фото 29]

справедливо неравенство

[Абсолютная Непрерывность. Фото 30]

Всякая абсолютно непрерывная на отрезке функция непрерывна на этом отрезке; обратное неверно, напр. функция f(x)=xsin(1/x) при [Абсолютная Непрерывность. Фото 31] будучи непрерывной на отрезке [0, 1], не является на нем абсолютно непрерывной. Если в определении абсолютно непрерывной функции, отбросить требование пустоты попарных пересечений интервалов [Абсолютная Непрерывность. Фото 32] то функций будет удовлетворять более сильному условию - Липшица условию с нек-рой постоянной.

Если функции [Абсолютная Непрерывность. Фото 33] абсолютно непрерывны, то абсолютно непрерывны и их сумма, разность и произведение, а если [Абсолютная Непрерывность. Фото 34] не обращается в нуль, то и частное [Абсолютная Непрерывность. Фото 35] Суперпозиция двух абсолютно непрерывных функций может и не быть абсолютно непрерывной. Однако, если функция f(x).абсолютно непрерывна на отрезке [Абсолютная Непрерывность. Фото 36] а функция [Абсолютная Непрерывность. Фото 37] удовлетворяет условию Липшица на отрезке [ А, В], то сложная функция [Абсолютная Непрерывность. Фото 38] абсолютно непрерывна на отрезке [Абсолютная Непрерывность. Фото 39] Если абсолютно непрерывная на [Абсолютная Непрерывность. Фото 40] функция [Абсолютная Непрерывность. Фото 41] монотонно возрастает, а функция F(у).абсолютно непрерывна на отрезке [Абсолютная Непрерывность. Фото 42] то [Абсолютная Непрерывность. Фото 43] функция [Абсолютная Непрерывность. Фото 44] также абсолютно непрерывна на

Абсолютно непрерывная функция отображает множество меры нуль в множество меры нуль, а измеримое множество в измеримое. Всякая непрерывная функция с конечной вариацией, отображающая каждое множество меры нуль в множество меры нуль, является абсолютно непрерывной функцией. Всякая абсолютно непрерывная функция может быть представлена как разность двух абсолютно непрерывных неубывающих функций.

Абсолютно непрерывная на отрезке [Абсолютная Непрерывность. Фото 45] функция [Абсолютная Непрерывность. Фото 46] имеет на нем конечную вариацию и почти в каждой его точке - конечную производную [Абсолютная Непрерывность. Фото 47] суммируемую на этом отрезке, причем

[Абсолютная Непрерывность. Фото 48]

Если производная абсолютно непрерывной функции почти всюду равна нулю, то сама функция постоянна. С другой стороны, для любой суммируемой на отрезке [Абсолютная Непрерывность. Фото 49] функции [Абсолютная Непрерывность. Фото 50] функция [Абсолютная Непрерывность. Фото 51] абсолютно непрерывна на этом отрезке. Поэтому класс абсолютно непрерывных на данном отрезке функций совпадает с классом функций, представимых в виде неопределенного интеграла Лебега: интеграла Лебега с переменным верхним пределом от нек-рой суммируемой функции плюс постоянная.

Если [Абсолютная Непрерывность. Фото 52] абсолютно непрерывна на [Абсолютная Непрерывность. Фото 53] то ее полная вариация равна:

[Абсолютная Непрерывность. Фото 54]

Понятие А. н. обобщается как на случай функций многих переменных, так и на случай функций множеств (см. ниже - п. 4).

[Абсолютная Непрерывность. Фото 55]

4) А. н. функции множества- понятие, употребляемое обычно применительно к счетно аддитивным функциям, определенным на [Абсолютная Непрерывность. Фото 56] -кольце Sподмножеств множества X. Так, если [Абсолютная Непрерывность. Фото 57] - две определенные на Sсчетно аддитивные функции со значениями из расширенной числовой прямой [Абсолютная Непрерывность. Фото 58] то [Абсолютная Непрерывность. Фото 59] абсолютно непрерывна относительно [Абсолютная Непрерывность. Фото 60] (символически это записывается в виде [Абсолютная Непрерывность. Фото 61]), если [Абсолютная Непрерывность. Фото 62] влечет [Абсолютная Непрерывность. Фото 63] (здесь |m| - полная вариация m:

[Абсолютная Непрерывность. Фото 64]

[Абсолютная Непрерывность. Фото 65] - меры, наз. положительной и отрицательной вариациями m; по теореме Жордана - Хана [Абсолютная Непрерывность. Фото 66]=[Абсолютная Непрерывность. Фото 67] ). Оказывается, что соотношения 1) [Абсолютная Непрерывность. Фото 68]) [Абсолютная Непрерывность. Фото 69] равносильны. Если мера [Абсолютная Непрерывность. Фото 70] конечна, то [Абсолютная Непрерывность. Фото 71] тогда и только тогда, когда для любого [Абсолютная Непрерывность. Фото 72] существует [Абсолютная Непрерывность. Фото 73] такое, что [Абсолютная Непрерывность. Фото 74] влечет [Абсолютная Непрерывность. Фото 75] В силу Радона - Никодима теоремы, если [Абсолютная Непрерывность. Фото 76] - вполне [Абсолютная Непрерывность. Фото 77] -конечны (т. е. [Абсолютная Непрерывность. Фото 78] и существует последовательность [Абсолютная Непрерывность. Фото 79] такая, что

[Абсолютная Непрерывность. Фото 80]

и [Абсолютная Непрерывность. Фото 81]), то на Xсуществует конечная измеримая функция [Абсолютная Непрерывность. Фото 82] такая, что

[Абсолютная Непрерывность. Фото 83]

Обратно, если [Абсолютная Непрерывность. Фото 84] вполне [Абсолютная Непрерывность. Фото 85] -конечна и интеграл [Абсолютная Непрерывность. Фото 86] имеет смысл, то как функция множества Е абсолютно непрерывна [Абсолютная Непрерывность. Фото 87] по [Абсолютная Непрерывность. Фото 88] Если [Абсолютная Непрерывность. Фото 89] вполне [Абсолютная Непрерывность. Фото 90] -конечные меры на [Абсолютная Непрерывность. Фото 91] то существуют однозначно определенные вполне [Абсолютная Непрерывность. Фото 92] -конечные меры [Абсолютная Непрерывность. Фото 93] такие, что [Абсолютная Непрерывность. Фото 94] сингулярна относительно [Абсолютная Непрерывность. Фото 95] (т. е. существует множество [Абсолютная Непрерывность. Фото 96] такое, что [Абсолютная Непрерывность. Фото 97] [Абсолютная Непрерывность. Фото 98] ) (теорема Лебега). Мера, определенная на борелевских множествах конечномерного евклидова пространства (или, более общим образом, локально компактной группы), называется абсолютно непрерывной, если она абсолютно непрерывна относительно меры Лебега (меры Хаара). Неотрицательная мера и. на борелевских множествах действительной прямой абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда отвечающая ей функция распределения [Абсолютная Непрерывность. Фото 99][Абсолютная Непрерывность. Фото 100] абсолютно непрерывна (как функция действительного переменного). Понятие А. н. функций множества может быть определено и для конечно аддитивных функций, и для функций с векторными значениями.

Лит.:[1] Xалмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [2] Неве Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969. В. В. Сазонов.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • совокупность св-в смазочных материалов, позволяющих им снижать трение между трущимися деталями машин и механизмов, уменьшать износ, пред

  • (первичный эле мент), хим. источник тока одноразового использования. Наиб. распространены марганцево-цинковые элементы, см. Лекланше элемен

  • млекопитающее отр. однопроходных, единств. вид семейства. Длина тела до 45 см, хвоста до 15 см. Голова заканчивается "утиным клювом", к-рый пред