Математическая энциклопедия » Что такое «Абсолют»?

Значение слова, определение и толкование термина

Абсолют

Absolyut

- 1) А. регулярного топологического пространства X - пространство аХ, обладающее тем свойством, что оно совершенно и неприводимо отображается на X, а всякий совершенный неприводимый прообраз пространства аХ гомеомор-фен пространству аХ. У каждого регулярного пространства Xимеется единственный А. При этом А. пространства Xвсегда экстремально несвязан и вполне регулярен и отображается на Xсовершенно и неприводимо посредством отображения [Абсолют. Фото 1] Если два пространства Xи У связаны (однозначным или многозначным) совершенным неприводимым отображением [Абсолют. Фото 2] то их А. гомеоморфны и существует такой гомеоморфизм [Абсолют. Фото 3]

Если дан гомеоморфизм [Абсолют. Фото 4] то отображение, вообще говоря, многозначное, [Абсолют. Фото 5] неприводимо и совершенно. Таким образом, А. и их гомеоморфизмы "управляют" всем классом совершенных неприводимых отображений регулярных пространств. Это фундаментальное свойство означает, что А. регулярных топологич. пространств являются проективными объектами в категории регулярных пространств и совершенных неприводимых отображений. Если регулярное пространство X, соответственно, бикомпактно, финально компактно, полно в смысле Чеха, то тем же свойством обладает и А. этого пространства. У пара-компактного пространства А. даже сильно паракомпак-тен и, более того, совершенно нульмерен. Но А. нормального пространства может не быть нормальным. Если X - вполне регулярное пространство, то расширение Стоуна - Чеха (см. Стоуна - Чеха бикомпактное расширение).его А. является А. любого бикомпактного расширения пространства X. Два пространства называются соабсолютными, если их А. гомеоморфны.

Таким образом, класс регулярных пространств разбивается на дизъюнктные (попарно непересекающиеся) классы соабсолютных пространств. Пространство Xсоабсолютно с некоторым метрическим пространством тогда и только тогда, когда оно является паракомпакт-ным перистым пространством и в нем существует плотная s-дискретная система открытых множеств. Бикомпакт соабсолютен с нек-рым компактом в том и только том случае, когда он имеет счетный p-вес. Если бикомпакт имеет счетный p-вес и не имеет изолированных точек (и только в этом случае), то он соабсолютен с кан-торовым совершенным множеством. Следовательно, все компакты без изолированных точек соабсолютны с канторовым совершенным множеством. А. счетного компакта является расширением Стоуна - Чеха пространства натуральных чисел. А. экстремально несвязного пространства гомеоморфен ему. Таким образом, класс А. (каких бы то ни было) регулярных пространств совпадает с классом экстремально несвязных пространств. Так как недискретное-экстремально несвязнов пространство не содержит никакой сходящейся последовательности попарно различных точек, А. любого недискретного пространства неметризуем (и даже не удовлетворяет первой аксиоме счетности).

Среди многочисленных способов построения абсолюта а К данного (регулярного) пространства Xодним из простейших является следующий.

Семейство [Абсолют. Фото 6] непустых канонич. cа-множеств, т. е. замкнутых канонич. множеств Апространства X, наз. нитью, если оно направлено по включению, т. е. если ко всяким двум элементам А, [Абсолют. Фото 7] семейства x существует элемент [Абсолют. Фото 8] содержащийся в [Абсолют. Фото 9] Нить x наз. максимальной, или концом, если она не является подсемейством никакой отличной от нее нити. Можно доказать, что нити существуют; более того, что для каждого непустого [Абсолют. Фото 10] множества Амножество DA всех нитей, содержащих множество Ав качестве элемента, непусто. Каждая нить содержится в нек-рой максимальной нити. Пересечение всех множеств, являющихся элементами максимальной нити [Абсолют. Фото 11] или пусто, или состоит из единственной точки [Абсолют. Фото 12] в последнем случае нить [Абсолют. Фото 13] наз. сходящейся (к точке [Абсолют. Фото 14]). В множестве [Абсолют. Фото 15] всех концов вводят топологию, объявляя совокупность всех множеств [Абсолют. Фото 16] ее замкнутой базой. Полученная топология оказывается хаусдорфовой и бикомпактной. Сходящиеся концы в бикомпакте [Абсолют. Фото 17] образуют всюду плотное подпространство. Подпространство пространства [Абсолют. Фото 18] состоящее из всех сходящихся концов, и есть абсолют [Абсолют. Фото 19] пространства X;при этом оказывается, что бикомпакт [Абсолют. Фото 20] есть не что иное, как максимальное бикомпактное расширение Стоуна - Чеха [Абсолют. Фото 21] абсолюта [Абсолют. Фото 22] Если же Xне только регулярно, но и вполне регулярно, то имеет место формула переместительности операторов [Абсолют. Фото 23]:

[Абсолют. Фото 24]

В. И. Пономарев.

[Абсолют. Фото 25] -абсолют пространства [Абсолют. Фото 26] -близости [Абсолют. Фото 27] - пара [Абсолют. Фото 28] состоящая из близости пространства [Абсолют. Фото 29] и проекции [Абсолют. Фото 30] : [Абсолют. Фото 31] являющейся регулярным [Абсолют. Фото 32] -отображением. При этом [Абсолют. Фото 33] -отображением называется всякое [Абсолют. Фото 34] -совершенное, неприводимое, [Абсолют. Фото 35] -близостно непрерывное отображение. У всякого пространства [Абсолют. Фото 36] -близости существует единственный [Абсолют. Фото 37] Всякое регулярное [Абсолют. Фото 38] -отображение на [Абсолют. Фото 39] -А. есть близо-стная эквивалентность. [Абсолют. Фото 40] -А. пространства [Абсолют. Фото 41] является максимальным прообразом пространства [Абсолют. Фото 42] относительно регулярных [Абсолют. Фото 43] -отображений. Для всякого регулярного [Абсолют. Фото 44] -отображения [Абсолют. Фото 45] существует такая близостная эквивалентность [Абсолют. Фото 46] что коммутативна следующая диаграмма:

[Абсолют. Фото 47]

Для максимальных [Абсолют. Фото 48] -близостей на регулярных топо-логич. пространствах понятие регулярного [Абсолют. Фото 49] -отображения совпадает с понятием совершенно неприводимого отображения, а понятие [Абсолют. Фото 50] - с понятием А. регулярного топологич. пространства. в. в. Федорчук.

[Абсолют. Фото 51]

2) Абсолют в проективной геометрии - кривая (поверхность) 2-го порядка, представляющая собой множество бесконечно удаленных точек в Клейна интерпретации гиперболич. плоскости (пространства). При помощи А. может быть введено мероопределение в проективной плоскости (пространстве) (см. Проективное мероопределение). Напр., проективная мера отрезка АВ определяется как величина, пропорциональная натуральному логарифму двойного отношения(ABCD).четырех точек, где Си D - точки пересечения прямой АВ с А. А. Б. Иванов.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

Абсолют в других словарях

См. также

  • Биологическое правило, согласно которому популяции, живущие в сухом, холодном климате обладают более низким носовым индексом (узкие и длин

  • (итал. vento di sotto) — бриз на оз. Гарда (Италия).