Математическая энциклопедия » Что такое «Абеля Теорема»?

Значение слова, определение и толкование термина

Абеля Теорема

Abelya Teorema

- 1) А. т. об алгебраических уравнениях : ни для какого п, большего или равного пяти, нельзя указать формулу, к-рая выражала бы корни любого уравнения n-й степени через его коэффициенты при помощи радикалов. Найдена Н. Абелем в 1824 (см. [1]). А. т. может быть получена также как следствие Галуа теории, из к-рой вытекает и более общее утверждение: для любого [Абеля Теорема. Фото 1] существуют алгебраич. уравнения с целыми коэффициентами, корни к-рых не выражаются через радикалы из рациональных чисел. Современную формулировку А. т. для уравнений над произвольным полем см. Алгебраическое уравнение.

2) А. т. для степенных рядов: если степенной ряд

[Абеля Теорема. Фото 2]

где [Абеля Теорема. Фото 3] - комплексные числа, сходится при [Абеля Теорема. Фото 4] то он абсолютно и равномерно сходится в любом круге [Абеля Теорема. Фото 5] радиуса [Абеля Теорема. Фото 6] с центром в точке b. Установлена Н. Абелем [2]. Из этой теоремы вытекает, что существует число [Абеля Теорема. Фото 7] обладающее тем свойством, что при [Абеля Теорема. Фото 8] ряд сходится, а при [Абеля Теорема. Фото 9] расходится. Это число Rназ. радиусом сходимости ряда (*), а круг [Абеля Теорема. Фото 10] наз. кругом сходимости ряда (*).

3) А. т. о непрерывности: если степенной ряд (*) сходится в точке z0 границы круга сходимости, то он представляет собой непрерывную функцию в любом замкнутом треугольнике Т с вершинами [Абеля Теорема. Фото 11] где [Абеля Теорема. Фото 12] лежат внутри круга сходимости. В частности,

[Абеля Теорема. Фото 13]

Этот предельный переход всегда можно осуществить по радиусу: на всем радиусе круга сходимости, соединяющем точки [Абеля Теорема. Фото 14] будет сходиться равномерно. Эта теорема используется, в частности, для вычисления суммы степенного ряда, сходящегося в точках на границе круга сходимости.

4) А. т. для рядов Дирихле: если Дирихле ряд

[Абеля Теорема. Фото 15]

сходится в точке [Абеля Теорема. Фото 16] то он сходится в полуплоскости [Абеля Теорема. Фото 17] и сходится равномерно внутри любого угла [Абеля Теорема. Фото 18] Является обобщением А. т. для степенных рядов (достаточно взять [Абеля Теорема. Фото 19] и обозначить [Абеля Теорема. Фото 20]). Из теоремы следует, что область сходимости ряда Дирихле - нек-рая полуплоскость [Абеля Теорема. Фото 21] где с - абсцисса сходимости ряда.

Для обыкновенного ряда Дирихле [Абеля Теорема. Фото 22] с известной асимптотикой для сумматорной функции [Абеля Теорема. Фото 23] коэффициентов ряда справедлива следующая теорема: если

[Абеля Теорема. Фото 24]

где [Абеля Теорема. Фото 25] - комплексные числа, [Абеля Теорема. Фото 26] - действительное число, [Абеля Теорема. Фото 27] то ряд Дирихле сходится при [Абеля Теорема. Фото 28] функция [Абеля Теорема. Фото 29] регулярно продолжается на полуплоскость [Абеля Теорема. Фото 30] исключая точку [Абеля Теорема. Фото 31] причем

[Абеля Теорема. Фото 32]

если [Абеля Теорема. Фото 33]

[Абеля Теорема. Фото 34]

если [Абеля Теорема. Фото 35] Здесь [Абеля Теорема. Фото 36] - регулярная при [Абеля Теорема. Фото 37] функция. Напр., дзета-функция Римана [Абеля Теорема. Фото 38]([Абеля Теорема. Фото 39] [Абеля Теорема. Фото 40] ) регулярна по крайней мере в полуплоскости [Абеля Теорема. Фото 41] исключая точку [Абеля Теорема. Фото 42] в к-рой она имеет полюс 1-го порядка с вычетом, равным 1. Эта теорема допускает различные обобщения. Так, если

[Абеля Теорема. Фото 43]

где [Абеля Теорема. Фото 44] - любые комплексные числа, и [Абеля Теорема. Фото 45] то ряд Дирихле сходится при [Абеля Теорема. Фото 46] регулярен в области [Абеля Теорема. Фото 47] исключая точки [Абеля Теорема. Фото 48] в к-рых он имеет алгебраич. или логариф-мич. особенности. Теоремы такого типа позволяют на основании асимптотики [Абеля Теорема. Фото 49] получать определенные сведения о поведении ряда Дирихле в нек-рой полуплоскости.

[Абеля Теорема. Фото 50]

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также