Математическая энциклопедия » Что такое «Абелева Категория»?

Значение слова, определение и толкование термина

Абелева Категория

Abeleva Kategoriya

- категория, обладающая рядом характерных свойств категории всех абелевых групп. А. к. были введены как основа абстрактного построения гомологич. алгебры (см. [4]). Категория [Абелева Категория. Фото 1] наз. абелевой (см. [2]), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

А0. Существует нулевой объект.

А1. Каждый морфизм обладает ядром и коядром.

А2. Каждый мономорфизм является нормальным мономорфизмом, каждый эпиморфизм является нормальным эпиморфизмом.

A3. Для каждой пары объектов существуют произведение и копроизведение.

Часто в определении А. к. дополнительно предполагается, что [Абелева Категория. Фото 2] локально малая слева категория (см. Малая категория). Для А. к. это предположение равносильно локальной малости справа и, следовательно, локальной малости. Копроизведение объектов A и B А. к. наз. также прямой суммой этих объектов и обозначают [Абелева Категория. Фото 3]или [Абелева Категория. Фото 4]

Примеры А. к.

1) Категория, двойственная А. к., также является А. к.

2) Категория [Абелева Категория. Фото 5] всех левых унитарных модулей над произвольным ассоциативным кольцом Rс единицей и всех R-модульных гомоморфизмов является А. к. (напр., категория всех абелевых групп).

3) Всякая полная подкатегория А. к., содержащая вместе с каждым морфизмом его ядро и коядро и вместе с каждой парой объектов А, В - их произведение и копроизведение, есть А. к.

Все малые А. к. исчерпываются подкатегориями указанного типа категорий [Абелева Категория. Фото 6] левых унитарных модулей, а именно, справедлива следующая теорема Митчелла: для всякой малой А. к. существует полное точное вложение в нек-рую категорию [Абелева Категория. Фото 7]

4) Всякая категория диаграмм [Абелева Категория. Фото 8] со схемой [Абелева Категория. Фото 9] над А. к. [Абелева Категория. Фото 10] является А. к. В схеме [Абелева Категория. Фото 11] можно выделить множество Ссоотношений коммутативности, т. е. множество пар [Абелева Категория. Фото 12] путей [Абелева Категория. Фото 13]

в [Абелева Категория. Фото 14] с общими началом и концом. Тогда полная подкатегория категории [Абелева Категория. Фото 15] порожденная всеми такими диаграммами D:[Абелева Категория. Фото 16] что

[Абелева Категория. Фото 17]

является А. к. В частности, если [Абелева Категория. Фото 18]- малая категория, а множество Ссостоит из всех пар вида [Абелева Категория. Фото 19] где [Абелева Категория. Фото 20] то соответствующая подкатегория является А. к. одноместных ковариантных функторов из [Абелева Категория. Фото 21]

Пусть в малой категории [Абелева Категория. Фото 22] есть нулевой объект; функтор F:[Абелева Категория. Фото 23] наз. нормализованным, если он переводит нулевой объект в нулевой объект. Полная подкатегория категории функторов, порожденная нормализованными функторами, является А. к. В частности, если [Абелева Категория. Фото 24] - категория, объектами к-рой служат все целые числа и нулевой объект N, а ненулевые неединичные морфизмы образуют последовательность

[Абелева Категория. Фото 25]

в к-рой [Абелева Категория. Фото 26] то соответствующая подкатегория, порождаемая нормализованными функторами, наз. категорией комплексов над [Абелева Категория. Фото 27] В категории комплексов определяются аддитивные функторы [Абелева Категория. Фото 28] соответственно n-мерных циклов, n-мерных граней и n-мерной гомологии со значениями в [Абелева Категория. Фото 29] и на их основе развивается аппарат гомологич. алгебры.

5) Полная подкатегория [Абелева Категория. Фото 30] А. к. [Абелева Категория. Фото 31] наз. плотной, если она содержит подобъекты и факторобъекты своих объектов и если в точной последовательности

[Абелева Категория. Фото 32]

[Абелева Категория. Фото 33] тогда и только тогда, когда [Абелева Категория. Фото 34] Факторкатегория [Абелева Категория. Фото 35] строится следующим образом. Пусть [Абелева Категория. Фото 36]- подобъект прямой суммы [Абелева Категория. Фото 37] с проекциями [Абелева Категория. Фото 38] и пусть квадрат

[Абелева Категория. Фото 39]

коуниверсален (т. е. является корасслоенным произведением). Подобъект [Абелева Категория. Фото 40] наз. [Абелева Категория. Фото 41] -подобъектом, если Coker [Абелева Категория. Фото 42] Два [Абелева Категория. Фото 43] -подобъекта эквивалентны, если они содержат нек-рый [Абелева Категория. Фото 44] -подобъект. Множество [Абелева Категория. Фото 45] состоит по определению из классов эквивалентных [Абелева Категория. Фото 46] -подобъектов. Обычное умножение бинарных отношений согласовано с введенной эквивалентностью, что позволяет построить факторкатегорию [Абелева Категория. Фото 47] являющуюся А. к. Точный функтор [Абелева Категория. Фото 48] [Абелева Категория. Фото 49] определяется сопоставлением каждому морфиз-му [Абелева Категория. Фото 50] его графика в [Абелева Категория. Фото 51] Подкатегория [Абелева Категория. Фото 52] наз. подкатегорией локализации, если функтор Тобладает полным унивалентным сопряжением справа функтором [Абелева Категория. Фото 53]

6) Для всякого топология, пространства Xкатегория левых G-модулей над X, где G - пучок колец с единицей над X, является А. к.

Во всякой А. к. [Абелева Категория. Фото 54] можно ввести частичное суммирование морфизмов таким образом, что [Абелева Категория. Фото 55] станет аддитивной категорией. Поэтому в А. к. произведение и ко-произведение любой пары объектов совпадают. Более того, в определении А. к. можно предполагать существование либо произведений, либо копроизведений. Всякая А. к. есть бикатегория с единственной бикате-горной структурой. Перечисленные свойства характеризуют А. к.: категория [Абелева Категория. Фото 56] с конечными произведениями является абелевой тогда и только тогда, когда она аддитивна и когда всякий морфизм [Абелева Категория. Фото 57] имеет ядро и коядро и разлагается в произведение

[Абелева Категория. Фото 58]

в к-ром [Абелева Категория. Фото 59] - изоморфизм.

Приведенная выше теорема Митчелла обосновывает метод "диаграммного поиска" в А. к.: всякое утверждение о коммутативных диаграммах, справедливое во всех категориях левых модулей [Абелева Категория. Фото 60] и вытекающее из точности нек-рых последовательностей морфизмов, справедливо во всех А. к.

В локально малой А. к.[Абелева Категория. Фото 61] -подобъекты любого объекта образуют дедекиндову решетку. Если в [Абелева Категория. Фото 62] существуют произведения (или копроизведения) любого семейства объектов, то эта решетка и оказывается полной. Перечисленные условия заведомо выполняются, если в [Абелева Категория. Фото 63] имеется образующий объект Uи существуют копроизведения

[Абелева Категория. Фото 64]

для любого множества I. Таковы, напр., Гротендика категории, эквивалентные факторкатегориям категорий модулей по подкатегориям локализации (теорема Габриеля - Попеску).

[Абелева Категория. Фото 65]

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также