Математическая энциклопедия » Что такое «Абелева Функция»?

Значение слова, определение и толкование термина

Абелева Функция

Abeleva Funktsiya

- обобщение эллиптической функции одного комплексного переменного на случай многих комплексных переменных. Мероморфная в комплексном пространстве [Абелева Функция. Фото 1] функция f(z) от pкомплексных переменных [Абелева Функция. Фото 2] наз. А. ф., если существуют векторов-строк из С p

[Абелева Функция. Фото 3]

линейно независимых над полем действительных чисел и таких, что [Абелева Функция. Фото 4] для всех [Абелева Функция. Фото 5] 2р. Векторы [Абелева Функция. Фото 6] наз. периодами, или системами периодов, А. ф. [Абелева Функция. Фото 7] Все периоды А. ф. f(z) образуют абелеву группу Г по сложению, наз. группой периодов (или модулем периодов). Базис этой группы наз. базисом периодов А. ф., а также системой основных (или примитивных) периодов. А. ф. наз. вырожденной, если существует такое линейное преобразование переменных [Абелева Функция. Фото 8] к-рое переводит [Абелева Функция. Фото 9] в функцию меньшего числа переменных; в противном случае [Абелева Функция. Фото 10] наз. невырожденной А. ф. Вырожденные А. ф. характеризуются также тем, что они имеют бесконечно малые периоды, т. е. для любого числа [Абелева Функция. Фото 11] можно найти период [Абелева Функция. Фото 12] для к-рого

[Абелева Функция. Фото 13]

Если [Абелева Функция. Фото 14] то невырожденные А. ф. суть эллиптич. функции одного комплексного переменного. Каждая А. ф. с группой периодов Г естественным образом отождествляется с мероморфной функцией на комплексном торе [Абелева Функция. Фото 15] т. е. на факторпространстве [Абелева Функция. Фото 16] (см. также Квазиабелева функция).

Исследование А. ф. началось в 19 в. в связи с проблемой обращения абелевых интеграловI рода (см. Якоби проблема обращения,[1], [2]). Возникающие при решении этой проблемы А. ф. наз. специальными А. ф., а иногда в старых работах под А. ф. только они и подразумевались. Пусть [Абелева Функция. Фото 17] - линейно независимые нормальные абелевы интегралы I рода, построенные на римановой поверхности F:

[Абелева Функция. Фото 18]

- заданная система сумм, в к-рой нижние пределы интегрирования [Абелева Функция. Фото 19] считаются фиксированными на поверхности F. Тогда специальные А. ф. можно определить как все рациональные функции координат рверхних пределов [Абелева Функция. Фото 20] рассматриваемых в свою очередь как функции от рточек [Абелева Функция. Фото 21] поверхности F. В символической записи, ведущей свое начало от К. Вейерштрасса (К. Weierstrass), любую специальную А. ф. Аl(z) можно изобразить в виде

[Абелева Функция. Фото 22]

Соответствующие специальным А. ф. комплексные торы [Абелева Функция. Фото 23] являются Якоби многообразиями алгебраич. кривых.

Матрица W, столбцы к-рой образуют базис периодов А. ф. f(z), имеет размер [Абелева Функция. Фото 24] и наз. матрицей периодов А. ф. [Абелева Функция. Фото 25] Для того чтобы данная матрица Wразмера [Абелева Функция. Фото 26] ~ была матрицей периодов нек-рой невырожденной А. ф. [Абелева Функция. Фото 27] необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла определенным условиям (условия Римана- Фробениуса). Она должна являться римановой матрицей, т. е. для Wдолжна существовать такая антисимметрическая неособенная целочисленная квадратная матрица Мпорядка 2р, что: 1) [Абелева Функция. Фото 28]- транспонированная матрица W;2) матрица iWMW*T определяет положительно определенную эрмитову форму (см. [3]). Если выразить условия 1) и 2) в виде соответственно уравнений и неравенств, то получится система р( р -1)/2 римановых уравнений и р( р-1)/2 римановых неравенств. Число рназ. родом матрицы Wи соответствующей А. ф. f(z). Столбцы [Абелева Функция. Фото 29] матрицы W, рассматриваемые как векторы в действительном евклидовом пространстве R2p, определяют параллелотоп периодов А. ф.[Абелева Функция. Фото 30]

Все А. ф., соответствующие одной и той же матрице периодов W, образуют абелево функциональное поле KW. В случае, когда поле К W содержит невырожденную А. ф., степень его трансцендентности над полем [Абелева Функция. Фото 31] равна р;тор [Абелева Функция. Фото 32] при этом является абелевым многообразием, а К W совпадает с его полем рациональных функций. Если же все А. ф. из [Абелева Функция. Фото 33] вырожденные, то [Абелева Функция. Фото 34] изоморфно полю рациональных функций на абелевом многообразии, размерность к-рого меньше р. См. также Квазиабелева функция.

Подобно эллиптич. функциям, каждая А. ф. может быть представлена в виде отношения двух целых трансцендентных тета-функций, представимых в свою очередь в виде тета-рядов. Задание римановой матрицы Wопределяет класс тета-рядов, позволяющий построить все А. ф. поля К W.

Для специальных А. ф. матрица Wпосредством линейного преобразования независимых переменных [Абелева Функция. Фото 35], [Абелева Функция. Фото 36] всегда может быть приведена к виду

[Абелева Функция. Фото 37]

При этом римановы соотношения между элементами матрицы [Абелева Функция. Фото 38] должны обеспечивать симметрию этой матрицы,[Абелева Функция. Фото 39] и положительную определенность матрицы действительных частей [Абелева Функция. Фото 40] [Абелева Функция. Фото 41]

Однако при [Абелева Функция. Фото 42] независимых среди элементов [Абелева Функция. Фото 43] матрицы [Абелева Функция. Фото 44] будет только [Абелева Функция. Фото 45] т. е. столько, сколько конформных модулей имеет риманова поверхность F, на к-рой решается проблема обращения (см. Модули римановой поверхности). Помимо римановых соотношений, в этом случае между [Абелева Функция. Фото 46] существует [Абелева Функция. Фото 47] соотношений трансцендентной природы, явный вид которых для случая [Абелева Функция. Фото 48] впервые нашел в 1886 Ф. Шотки (F. Schottky; обзор последующих достижений по этой проблеме см. в [5]).

Специальные А. ф. представимы в виде отношения двух целых тета-функций с полуцелыми характеристиками специального вида. Из этого представления вытекает ряд свойств специальных А. ф., обобщающих многие свойства эллиптич. функций; так: производные А. ф. [Абелева Функция. Фото 49] по любому аргументу [Абелева Функция. Фото 50] суть А. ф.; любые [Абелева Функция. Фото 51] А. ф. связаны алгебраич. уравнением; любую А. ф. можно выразить рационально через [Абелева Функция. Фото 52] нек-рых А. ф., напр, через произвольную А. ф. и ее р частных производных 1-го порядка; для А. ф. справедлива теорема сложения, т. е. значение А. ф. в точке [Абелева Функция. Фото 53] можно выразить рационально через значения нек-рых [Абелева Функция. Фото 54] А. ф. в точках [Абелева Функция. Фото 55]

А. ф. имеют большое значение в алгебраич. геометрии как средство униформизации алгебраич. многообразий определенных классов.

[Абелева Функция. Фото 56]

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИЛА        приложенная к материальному телу сила, линия действия к-рой при любом положении тела проходит через нек-рую опред

  • (от карты и ...графия), наука, включающая теорию, методику и техн. приёмы создания и использования геогр. карт, глобусов, карт Луны, планет, звё

  • надсемейство клещей отр. акариформных. Дл. 0,3-0,5 мм. Ок. 2000 видов, распространены широко. Паразитируют на перьях птиц, вызывая их выпадение. Ли