Математическая энциклопедия » Что такое «Абелев Интеграл»?

Значение слова, определение и толкование термина

Абелев Интеграл

Abelev Integral

алгебраический интеграл,- интеграл от алгебраической функции, т. е. интеграл вида:

[Абелев Интеграл. Фото 1]

где [Абелев Интеграл. Фото 2] - любая рациональная функция от переменных z и w, связанных алгебраич. уравнением

[Абелев Интеграл. Фото 3]

с целыми рациональными по [Абелев Интеграл. Фото 4] коэффициентами [Абелев Интеграл. Фото 5]

[Абелев Интеграл. Фото 6] Уравнению (2) соответствует компактная риманова поверхность F, n -листно накрывающая сферу Римана, на к-рой [Абелев Интеграл. Фото 7] а следовательно, и [Абелев Интеграл. Фото 8] рассматриваемые как функции точки поверхности [Абелев Интеграл. Фото 9] однозначны.

Интеграл (1) задается как интеграл от абелева дифференциала [Абелев Интеграл. Фото 10] на F, взятый [Абелев Интеграл. Фото 11] вдоль некоторого спрямляемого пути L. Вообще говоря, задание только начальной и конечной точек [Абелев Интеграл. Фото 12] этого пути Lне вполне определяет значение А. и. (1), или, что то же, интеграл (1) является, вообще говоря, многозначной функцией от начальной и конечной точек пути L.

Поведение А. и. на Fзависит прежде всего от топологич. структуры, в частности от топологич. инварианта - рода gповерхности F(см. Род поверхности). Род g связан с числом листов пи числом точек ветвления [Абелев Интеграл. Фото 13] (взятых с надлежащей кратностью) соотношением g=[Абелев Интеграл. Фото 14]/2- n+1. При [Абелев Интеграл. Фото 15] переменные [Абелев Интеграл. Фото 16] выражаются рационально через нек-рый параметр t, и А. и. сводится к интегралу от рациональной функции от t. Так обстоит дело, напр., в элементарных случаях [Абелев Интеграл. Фото 17] и [Абелев Интеграл. Фото 18]

При [Абелев Интеграл. Фото 19] любой А. и. можно выразить в виде линейной комбинации элементарных функций и канонических А. и. трех родов. Интеграл [Абелев Интеграл. Фото 20] наз. А. и. I рода, если [Абелев Интеграл. Фото 21]- абелев дифференциал I рода. Иначе, А. и. I рода характеризуется тем, что при фиксированном начале [Абелев Интеграл. Фото 22] пути Lон является всюду конечной на Fфункцией верхнего предела [Абелев Интеграл. Фото 23] вообще говоря, многозначной. Эта характеристика используется, напр., при построении аналогов А. и. I рода на некомпактных римановых поверхностях. Любой А. и. I рода может быть представлен в виде линейной комбинации [Абелев Интеграл. Фото 24] линейно независимых нормальных А. и. I рода

[Абелев Интеграл. Фото 25]

от дифференциалов [Абелев Интеграл. Фото 26] составляющих канонич. базис абелевых дифференциалов I рода. Если разрезать поверхность Fвдоль циклов [Абелев Интеграл. Фото 27] канонич. базиса гомологии, то получается односвязная область [Абелев Интеграл. Фото 28] Для всех путей [Абелев Интеграл. Фото 29] с фиксированным началом [Абелев Интеграл. Фото 30] и концом [Абелев Интеграл. Фото 31] интегралы [Абелев Интеграл. Фото 32] являются однозначными функциями верхнего предела [Абелев Интеграл. Фото 33] Многозначность интегралов [Абелев Интеграл. Фото 34] на [Абелев Интеграл. Фото 35] теперь полностью характеризуется тем, что интеграл [Абелев Интеграл. Фото 36] вдоль произвольного пути [Абелев Интеграл. Фото 37] соединяющего те же точки [Абелев Интеграл. Фото 38] отличается от интеграла [Абелев Интеграл. Фото 39] лишь прибавлением целочисленной линейной комбинации A-периодов [Абелев Интеграл. Фото 40] и В-пе-риодов [Абелев Интеграл. Фото 41] базисных дифференциалов I рода, составляющих матрицу периодов размера [Абелев Интеграл. Фото 42] к-рая удовлетворяет билинейным соотношениям Римана (см. А белев дифференциал).

Интеграл где [Абелев Интеграл. Фото 43] - абелев дифференциал II рода, наз. А.[Абелев Интеграл. Фото 44] и. II рода. Рассматриваемый как функция от верхнего предела, он всюду на Fне имеет иных особенностей, кроме полюсов. А. и. от нормированного абелева дифференциала II рода наз. нормальным А. и. II рода.

А. и. III рода - это А. и. произвольного вида. На Fони допускают, вообще говоря, и логарифмич. особенности. При этом логарифмич. особенности могут встречаться только попарно. А. и. от нормального абелева дифференциала III рода наз. нормальным А. и. III рода. Любой А. и. можно представить в виде линейной комбинации нормальных А. и. I, II и III рода. В отличие от А. и. I и II рода, А. и. III рода, кроме А- и В-периодов, наз. циклическими периодами, имеет еще, вообще говоря, полярные периоды вдоль циклов, гомологичных нулю, но охватывающих логарифмич. особенности этого А. и., порождаемые полюсами абелева дифференциала [Абелев Интеграл. Фото 45] с отличными от нуля вычетами.

Для произвольно взятых А. и. на одной и той же римановой поверхности Fсуществуют определенные соотношения, обусловленные топологической и конформной структурой F. Напр., если [Абелев Интеграл. Фото 46] - нормальный абелев дифференциал III рода с простыми полюсами в точках [Абелев Интеграл. Фото 47] то справедлива теорема о перестановке параметров и пределов для А. и. III рода: для любых точек Р 1, Р 2, Р 3, Р 4

[Абелев Интеграл. Фото 48]

Соотношения, связывающие А. и. с рациональными функциями на F, носят назв. теоремы Абеля. Напр., в терминах дивизоров теорема Абеля для А. и. I рода имеет вид: дивизор [Абелев Интеграл. Фото 49] является дивизором мероморфной функции тогда и только тогда, когда существует такая цепь [Абелев Интеграл. Фото 50] для всех абелевых дифференциалов I рода на F. Существуют варианты теоремы Абеля для А. и. II и III рода (см. [4]). А. и., и в частности теорема Абеля, служат основой для трансцендентного построения Якоби многообразия римановой поверхности. Вопрос обращения А. и. как функции верхнего предела ведет также к понятиям абелевых функций, эллиптических функций и тета-функций (см. Якоби проблема обращения).

Исторически начало теории А. и. было положено рассмотрением поверхности рода [Абелев Интеграл. Фото 51] Записав соответствующее уравнение в виде:

[Абелев Интеграл. Фото 52]

где f(z) - многочлен от z3-й или 4-й степени, получают в качестве соответствующих А. и. эллиптические интегралы. Впервые они появились при спрямлении дуг кривых 2-го порядка в работах Я. и И. Бернулли (Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli), Дж. Фаньяно (G. Faniano) конца 17 и начала 18 вв. Л. Эйлер (L. Euler) подошел к теореме сложения для эллиптич. интегралов - частному случаю теоремы Абеля (1752). В 1827 в работах Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Jacobi) была поставлена и решена проблема обращения эллиптич. интегралов. Тем самым было положено начало теории эллиптич. функций. Однако нек-рыми фактами этой теории владел уже к началу 18 в. К. Гаусс (С. Gauss). Проблема обращения А. и. в гораздо более сложном случае [Абелев Интеграл. Фото 53] возникла в работах Н. Абеля и К. Якоби. В самом начале развития теории большое внимание привлек случай гиперэллиптических интегралов, когда [Абелев Интеграл. Фото 54] где [Абелев Интеграл. Фото 55] - многочлен 5-й или 6-й степени без кратных корней. Здесь [Абелев Интеграл. Фото 56] и трудности проблемы обращения уже достаточно ощутимы. Существенное продвижение в теории А. и. связано с именем Б. Римана (В. Riemann), к-рый ввел понятие римановой поверхности (1851), сформулировал и доказал ряд важных результатов.

Многомерные обобщения теории А. и. изучаются в алгебраич. геометрии и теории комплексных многообразий.

[Абелев Интеграл. Фото 57]

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • ПОЛУВОЛНОВОЙ ВИБРАТОР (полуволновой ди-поль) - простейшая приёмная и передающая антенна, гл. обр. в области коротких волн и ультракоротких

  • - обобщение понятия производной, в к-рой обычный предел заменяется односторонним пределом. Если для функции f(x)действительного переменного

  • повыш. содержа ние холестерина в крови при атеросклерозе и др. заболеваниях.