Математическая энциклопедия » Что такое «Абелев Дифференциал»?

Значение слова, определение и толкование термина

Абелев Дифференциал

Abelev Differentsial

голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности S(см. Дифференциал на римановой поверхности).

Пусть g - род поверхности S; а1b1 а 2b2...agbg циклы канонич. базиса гомологии S. В зависимости от характера особенностей различают А. д. трех родов: I, II и III, причем имеют место строгие включения: [Абелев Дифференциал. Фото 1] А. <д. I рода- это голоморфные всюду на Sдифференциалы 1-го порядка, к-рые в окрестности U ' каждой точки [Абелев Дифференциал. Фото 2] имеют вид [Абелев Дифференциал. Фото 3] где [Абелев Дифференциал. Фото 4] - локальная униформизирующая переменная в U,[Абелев Дифференциал. Фото 5]- голоморфная, или регулярная, аналитич. функция от z в U. Сложение А. д. и умножение на голоморфную функцию определяются естественными правилами: если

[Абелев Дифференциал. Фото 6]

то

[Абелев Дифференциал. Фото 7]

А. д. I рода образуют векторное пространство [Абелев Дифференциал. Фото 8] размерности g. После введения скалярного произведения

[Абелев Дифференциал. Фото 9]

где [Абелев Дифференциал. Фото 10] - внешнее произведениеw на звездно сопряженный дифференциал [Абелев Дифференциал. Фото 11] пространство [Абелев Дифференциал. Фото 12] превращается в гильбертово пространство.

Пусть [Абелев Дифференциал. Фото 13] суть А- и B-периоды А. д. 1 рода [Абелев Дифференциал. Фото 14], т. е. интегралы

[Абелев Дифференциал. Фото 15]

Тогда имеет место соотношение:

[Абелев Дифференциал. Фото 16]

Если А'1 ,B'1 ,А'2 ,B'2 ,...,А'g ,B'g , - периоды другого А. д. I рода p, то

[Абелев Дифференциал. Фото 17]

Соотношения (1) и (2) наз. билинейными соотношениями Римана для А. д. I рода. Канонич. базис А. д. I рода, т. е. канонич. базис j1 [Абелев Дифференциал. Фото 18] пространства [Абелев Дифференциал. Фото 19] выбирается таким образом, что

[Абелев Дифференциал. Фото 20]

где [Абелев Дифференциал. Фото 21] и [Абелев Дифференциал. Фото 22] при [Абелев Дифференциал. Фото 23] При этом матрица (Bi j) i, j=1,2,...,gn B-периодов [Абелев Дифференциал. Фото 24] симметрическая, а матрица мнимых частей [Абелев Дифференциал. Фото 25] положительно определенная. А. д. I рода, у к-рого все A-периоды или все B-периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды А. д. I рода [Абелев Дифференциал. Фото 26] действительны, то [Абелев Дифференциал. Фото 27]

А. д. II и III рода относятся, вообще говоря, к мероморфным дифференциалам, т. е. к таким аналитич. дифференциалам, к-рые имеют на Sне более чем конечное множество особенностей типа полюсов с локальным представлением

[Абелев Дифференциал. Фото 28]

где [Абелев Дифференциал. Фото 29] - регулярная функция, п - порядок полюса (если [Абелев Дифференциал. Фото 30]), [Абелев Дифференциал. Фото 31]- вычет в данном полюсе. При [Абелев Дифференциал. Фото 32] полюс наз. простым. А. д. II рода - это мероморфные дифференциалы, у к-рых все вычеты равны нулю, т. е. мероморфные дифференциалы с локальным представлением

[Абелев Дифференциал. Фото 33]

А. д. III рода - это А. д. произвольного вида.

Если [Абелев Дифференциал. Фото 34] - произвольный А. д. с A-периодами А 1 , А 2 ,.. ., Ag, то А. д.[Абелев Дифференциал. Фото 35] имеет нулевые А-периоды и наз. нормированным А. д. В частности, если [Абелев Дифференциал. Фото 36] - любые различные точки S, то можно построить нормированный А. д. [Абелев Дифференциал. Фото 37] с особенностями [Абелев Дифференциал. Фото 38] в [Абелев Дифференциал. Фото 39] к-рый наз. нормальным А. д. III рода. Пусть [Абелев Дифференциал. Фото 40] - произвольный А. д. с вычетами [Абелев Дифференциал. Фото 41] в точках [Абелев Дифференциал. Фото 42] соответственно, при этом всегда [Абелев Дифференциал. Фото 43] Если Р 0 - произвольная точка на Sтакая, что [Абелев Дифференциал. Фото 44] можно представить в виде линейной комбинации нормированного А. д. II рода [Абелев Дифференциал. Фото 45] конечного числа нормальных А. д. III рода [Абелев Дифференциал. Фото 46] и базисных А. д. I рода [Абелев Дифференциал. Фото 47]

[Абелев Дифференциал. Фото 48]

Пусть [Абелев Дифференциал. Фото 49] - А. д. III рода, имеющий только простые полюсы с вычетами в точках - произвольный А. д.[Абелев Дифференциал. Фото 50]I рода;[Абелев Дифференциал. Фото 51]

[Абелев Дифференциал. Фото 52]

причем циклы [Абелев Дифференциал. Фото 53] не проходят через полюсы [Абелев Дифференциал. Фото 54] Пусть точка [Абелев Дифференциал. Фото 55] не лежит на циклах [Абелев Дифференциал. Фото 56] есть путь от P0 к Pj. Тогда имеем билинейные соотношения для А. д. I и III рода:

[Абелев Дифференциал. Фото 57]

Между А. д. I и II рода также имеются билинейные соотношения аналогичного вида.

Произвольный А. д. III рода, кроме А- и 5-перио-дов [Абелев Дифференциал. Фото 58] наз. циклическими периодами, имеет еще полярные периоды вида [Абелев Дифференциал. Фото 59] вдоль циклов, гомологичных нулю, но охватывающих полюсы [Абелев Дифференциал. Фото 60] Таким образом, для произвольного цикла [Абелев Дифференциал. Фото 61] имеем:

[Абелев Дифференциал. Фото 62]

где [Абелев Дифференциал. Фото 63] - целые числа.

Важные свойства А. д. описываются в терминах дивизоров. Пусть [Абелев Дифференциал. Фото 64] - дивизор А. д. [Абелев Дифференциал. Фото 65] т. е. выражение вида [Абелев Дифференциал. Фото 66] где [Абелев Дифференциал. Фото 67]- все нули и полюсы [Абелев Дифференциал. Фото 68]- их кратности, или порядки. Степень дивизора [Абелев Дифференциал. Фото 69] для А. д. [Абелев Дифференциал. Фото 70] зависит только от рода S, а именно всегда [Абелев Дифференциал. Фото 71] Пусть [Абелев Дифференциал. Фото 72] - нек-рый произвольно заданный дивизор. Обозначим через [Абелев Дифференциал. Фото 73] комплексное векторное пространство А. д. [Абелев Дифференциал. Фото 74] дивизоры к-рых [Абелев Дифференциал. Фото 75] кратны а; [Абелев Дифференциал. Фото 76] - векторное пространство мероморфных функций f на S, дивизоры к-рых [Абелев Дифференциал. Фото 77] кратны [Абелев Дифференциал. Фото 78] Тогда размерность [Абелев Дифференциал. Фото 79] . Другая важная информация о размерности этих пространств содержится в теореме Римана- Роха: для любого дивизора [Абелев Дифференциал. Фото 80] имеем равенство:

[Абелев Дифференциал. Фото 81]

Отсюда следует, напр., что при [Абелев Дифференциал. Фото 82] т. е. на поверхности тора, мероморфная функция не может иметь единственный простой полюс.

Пусть S - произвольная компактная риманова поверхность, на к-рой z и w - мероморфные функции, удовлетворяющие неприводимому алгебраич. уравнению [Абелев Дифференциал. Фото 83] Произвольный А. д. [Абелев Дифференциал. Фото 84] на S можно выразить тогда в виде [Абелев Дифференциал. Фото 85] где [Абелев Дифференциал. Фото 86] - нек-рая рациональная функция от [Абелев Дифференциал. Фото 87] и [Абелев Дифференциал. Фото 88], и обратно: выражение [Абелев Дифференциал. Фото 89] есть А. д. Таким образом, произвольный абелев интеграл

[Абелев Дифференциал. Фото 90]

является интегралом от нек-рого А. д. на компактной римановой поверхности S.

См. также Алгебраическая функция.

Лит.:[1]Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [2] Неванлинна Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955; [3] Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М.- Л., 1948.

Е. Д. Соломенцев.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

См. также

  • ВОЗМУЩЕНИЙ ТЕОРИЯ        метод приближённого решения ур-ний, содержащих к.-л. малые параметры; в ур-ннях, описывающих физ. системы, В. т. испо

  • УГОЛ АТАКИ        угол между направлением скорости поступательно движущегося тела и к.-н. характерным направлением, связанным с телом, нап

  • 1) раздел фармакологии, изучающий лекарств. в-ва, влияющие на психич. деятельность. 2) Клинич. П.- раздел психиатрии, изучающий действие психот