Физическая энциклопедия » Что такое «Автомодельность»?

Значение слова, определение и толкование термина

Автомодельность

Avtomodelnost

АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ

- особая симметрия физ. системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных может быть скомпенсировано преобразованием подобия др. динамич. переменных. А. приводит к эфф. сокращению числа независимых переменных. Напр., если состояние системы характеризуется ф-цией и(х, t), где х - координата, t - время, то условие инвариантности относительно изменения масштабов x'-kx, t'=lt и преобразования подобия таково:

[Автомодельность. Фото 1] ,

где [Автомодельность. Фото 2] - числа. Выбор [Автомодельность. Фото 3], где m - подобия критерий (параметр), придаёт первонач. ф-ции автомодельный вид

[Автомодельность. Фото 4].

Т. о., ф-ция и при постоянном т зависит только от комбинации [Автомодельность. Фото 5]. А. возможна, если набор параметров, определяющих состояние системы, не содержит характерных масштабов независимых переменных. Поскольку в большинстве задач форма преобразования подобия заранее неизвестна, автомодельную подстановку надо в каждом случае находить отдельно. Для этого имеются 3 способа:

1. Размерностей анализ. Состояние системы характеризуется набором размерных параметров и ф-ций, зависящих от координат х, у, z и времени t. Если один из безразмерных критериев подобия имеет вид [Автомодельность. Фото 6] , где b - параметр, имеющий размерность [Автомодельность. Фото 7] , Х 0, Т 0 - характерные длина и промежуток времени, L, Т - единицы длины и времени соответственно, то в качестве автомодельных переменных можно выбрать безразмерные комбинации [Автомодельность. Фото 8] ,[Автомодельность. Фото 9], [Автомодельность. Фото 10] . В том случае, когда имеется не более двух определяющих параметров с независимыми размерностями, отличными от длины и времени, переход к автомодельным переменным превращает ур-ние с частными производными в обыкновенное дифференц. ур-ние.

2. Непосредственный подбор. Формально вводится автомодельная замена переменных [Автомодельность. Фото 11] или, в более общем виде, [Автомодельность. Фото 12], [Автомодельность. Фото 13]. Ур-ния, начальные и граничные условия должны иметь структуру, допускающую такую замену. Решение существует не для любых значений [Автомодельность. Фото 14] и не для любых ф-ций [Автомодельность. Фото 15] . Для получения подходящих значений необходимо решить нелинейную задачу на собств. значения.

3. Исследование групповых свойств ур-ний. Рассмотрим систему дифференц. ур-ний с частными производными 1-го порядка [Автомодельность. Фото 16] =0, где [Автомодельность. Фото 17] -независимые переменные, [Автомодельность. Фото 18] -искомые ф-ции,[Автомодельность. Фото 19] Всевозможные замены переменных [Автомодельность. Фото 20], допускаемые системой, образуют группу Ли. Автомодельные замены являются её однопараметрич. подгруппой растяжений. В нек-рых случаях найти такие замены позволяет след. процедура.

В пространстве переменных [Автомодельность. Фото 21] группа Ли задаётся своими генераторами, имеющими общий вид X=[Автомодельность. Фото 22], где [Автомодельность. Фото 23] -нек-рые ф-ции переменных х, и; по повторяющимся индексам производится суммирование. В пространстве переменных [Автомодельность. Фото 24] группа Ли задаётся генераторами [Автомодельность. Фото 25], где

[Автомодельность. Фото 26] . Система ур-ний [Автомодельность. Фото 27] определяет гиперповерхность в пространстве переменных [Автомодельность. Фото 28] , к-рая является инвариантом группы при условии [Автомодельность. Фото 29], когда [Автомодельность. Фото 30]; эти условия служат для определения ф-ций [Автомодельность. Фото 31] и [Автомодельность. Фото 32].

Комбинации переменных, дающие искомую замену, являются первыми интегралами ур-ния [Автомодельность. Фото 33][Автомодельность. Фото 34]. Напр., для двух независимых переменных x, t и одной искомой ф-ции и оператор растяжений имеет вид [Автомодельность. Фото 35][Автомодельность. Фото 36] - числа. Набор первых интегралов ур-ния [Автомодельность. Фото 37] таков: [Автомодельность. Фото 38] , поэтому автомодельное решение ур-ний, допускающих группу растяжений, будет иметь вид [Автомодельность. Фото 39], [Автомодельность. Фото 40] -новая искомая ф-ция.

Рассмотрим, напр., Кортевега - де Фриса уравнение [Автомодельность. Фото 41] , где [Автомодельность. Фото 42] -пост. параметр; оно инвариантно относительно преобразования [Автомодельность. Фото 43] , [Автомодельность. Фото 44] . Генератор [Автомодельность. Фото 45][Автомодельность. Фото 46] -оператор растяжений, и автомодельное решение имеет вид [Автомодельность. Фото 47]

Подставляя это решение в исходное ур-ние, получаем обыкновенное дифференц. ур-ние для ф-ции [Автомодельность. Фото 48]:

[Автомодельность. Фото 49]

Однопараметрич. группа растяжений абелева. Если система допускает решения, построенные на др. одно-параметрич. абелевых подгруппах, то подходящей заменой этим решениям можно придать автомодельный вид, что является следствием подобия этих групп. В частности, автомодельные движения тесно связаны с нелинейными бегущими волнами, т. е. решениями вида [Автомодельность. Фото 50] , для к-рых место преобразования подобия занимает преобразование сдвига. Замена х=[Автомодельность. Фото 51], [Автомодельность. Фото 52], [Автомодельность. Фото 53] переводит волновое решение f в автомодельное:

[Автомодельность. Фото 54]

А., отражающая внутр. симметрию, присуща многим явлениям и используется при решении разл. физ. задач, особенно в механике сплошных сред (см. Автомодельное течение).

Метод ренормализационной группы в квантовой теории поля, по существу, также основан на использовании автомодельного преобразования переменных. Интересно, что в автомодельных переменных ур-ние ренормгруппы оказывается тождественным одномерному ур-нию переноса излучения. В физике элементарных частиц А. выражается в том, что сечения нек-рых процессов при высоких энергиях зависят лишь от безразмерных автомодельных комбинаций импульсов. Общие принципы квантовой теории поля допускают широкий класс таких автомодельных асимптотик.

Лит.: Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, 9 изд., М., 1981; Боголюбов Н. Н., IIIирков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; Биркгоф Г., Гидродинамика, пер. с англ., М., 1963; Овсянников Л. В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978; Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978, гл. 1; Баренблатт Г. И., Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика, 2 изд., Л., 1982.

В. Е. Рокотян.

  • ВКонтакте

  • Facebook

  • Мой мир@mail.ru

  • Twitter

  • Одноклассники

  • Google+

Автомодельность в других словарях

См. также

  • ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ФАКТОР        величина, определяющая геометрию пучка излучения; широко используется в фотометрии, космофизике при регист

  • — диаграмма, характеризующая режим ветра в данном пункте по многолетним данным (месяц, сезон, год и т. п.). Строится в виде „лепестков розы"